Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Aplicación: Si la temperatura fuera una cúbica…y el costo también…
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En provenance du cours de Tecnológico de Monterrey
Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
306 notes
Tecnológico de Monterrey
306 notes
À partir de la leçon
Modelo Cúbico
Abordaremos el estudio del Modelo Cúbico como el modelo polinomial en el cual la razón de cambio se representa con un modelo cuadrático. A través del análisis de sus gráficas podremos ampliar nuestro conocimiento incluyendo un nuevo tipo de comportamiento. El conocimiento de modelo cúbico se integra con el del cuadrático y del lineal, y con esto apreciaremos en el Cálculo el estudio del cambio, posible a través de las sucesivas derivadas de una función.
Rencontrer les enseignants
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Estamos en nuestro video de aplicación.
Ahora vamos a hablar de algunas aplicaciones de nuestra función cúbica,
¿no?, cuya derivada es una función cuadrática, y bueno, pues entre las
aplicaciones, ustedes se imaginarán de los que estamos hablando ahora,
¿no?, si vemos este lindo paisaje, vamos a hablar ahora de la temperatura.
La temperatura cambia.
¿Okey?
Esa es nuestra magnitud, cambia con respecto al tiempo.
En la mañana podríamos sentir, ¿no?, cómo la temperatura va aumentando,
y después cómo empieza a disminuir, ¿no?
Realmente en sí la temperatura, en días y días y días,
es algo que tiende a modelar con un modelo, digamos, periódico en matemáticas.
Algo que se repite y se repite y se repite.
Sin embargo, hay situaciones en las que, pues en zonas, o en un día,
podríamos decir que lo que pasa con la temperatura se puede comportar o modelar
con, este, una función cúbica.
Este otro ambiente en donde tenemos ahora,
¿no?, la vista del mar, nos invita a pensar en las vacaciones, pero no.
No, eso no, ahorita vamos a pensar más bien, cómo cambia esa temperatura, ¿no?,
y lo que vamos a hacer es, pues poner la parte matemática, ¿no?, que nos permita
comenzar a decir diferentes cosas, ¿no?, acerca del cambio de la temperatura.
Entonces, los invito a que veamos en mi computadora.
Ahí tengo una imagen donde va a estar toda la información matemática.
Tenemos entonces, ahora, los termómetros fuera de la casa, y bueno,
también puede ser fuera de una casa, ¿no?, en una zona muy, muy fría.
Sin embargo, bueno pues,
independientemente de cómo sea la situación, tenemos ahí una fórmula,
¿no?, una fórmula matemática que nos está diciendo la razón de cambio de la
temperatura es igual a menos uno en 80 t cuadrada más un quinto de t.
Okey, esa es la información matemática, esa es la información
matemática que nos va a permitir descubrir el cambio que tiene la
temperatura en un día de nuestra ciudad, ¿sí?
Vamos, entonces, sobre el papel.
Nomas déjenme copiar esta fórmula.
Esta fórmula es la que vamos a estar utilizando,
r (t) = -1/80 t cuadrada, perfecto, + 1/5 t.
Es una función cuadrática, ¿se fijan?, entonces,
esta función cuadrática, vámonos al papel, esta función cuadrática va a estar
diciéndome la razón de cambio de la temperatura, ¿okey?
A partir de ella voy a poder construir la temperatura.
Claro, necesitaría tener un dato inicial.
Vamos a suponer que estemos pensando en un lapso del tiempo de los,
desde t=0, no estoy hablando del origen del mundo,
¿verdad?, estoy hablando de el momento en que yo digo,
aquí me estaciono para decir voy a empezar a modelar matemáticamente.
t=0 que sean las 12 en la mañana,
¿no?, la madrugada, el cambio de la noche al día.
¿Sí?, este va a ser nuestro 12 en nuestro reloj.
Y bueno, pues vamos a avanzar hasta el t=24, el 24, ¿qué significaría?,
pues que volvemos ahora al mismo tiempo, pasó un día, pasaron 24 horas.
¿Okey?
Entonces, siendo así, supongamos que a las 12 de la madrugada la temperatura inicial,
fíjense, voy a usar la anotación de la función evaluada en cero.
Esa temperatura inicial fuesen dos grados, o sea,
dos grados centígrados, ¿no?, está haciendo frío.
Supongamos, está bien frío, ¿no?
Y este valor inicial es el que tenemos para capturar los
siguientes valores, dado que la razón del cambio se comporta como está escrito aquí.
¿Okey? Matemáticamente,
¿qué es lo que hay que hacer para construir esa razón de cambio?
Lo que tendríamos nosotros que hacer, vamos a cambiar de color, es
un proceso que ahorita viene hacia abajo, ¿verdad?,
pero que en nuestro caso, interpretando que ésta es la razón de cambio,
lo que vamos a hacer es antiderivar, ¿verdad?, o sea,
vamos a construir la función temperatura, que depende del tiempo,
que va a estar dada con este valor inicial, ¿cierto?, y a eso le vamos
a sumar los términos que aparecen cuando consideramos estos dos términos de acá.
Para un quinto t para acomodarla en orden, me gustaría poner un quinto de t,
y en lugar de t, ponemos t cuadrada entre 2, ¿se acuerdan?, y luego,
para menos 1 en 80 le pondríamos aquí t cúbica entre 3, ¿no?
Y entonces nuestra expresión de la temperatura va a ser 2 más un décimo de t
cuadrada menos 1 en 240 t al cubo.
Este es el modelo matemático ahorita para la temperatura, ¿sí?
y este de arriba es el modelo matemático para la
razón de de cambio de la temperatura.
¿Okey?
Podríamos hacer varias cosas.
Podríamos quedarnos solamente en lo algebraico, podríamos irnos a una, este,
imagen en un graficador, en donde veamos qué es lo que pueda estar pasando.
Vamos a ver.
Déjenme preparar aquí mi computadora, para mostrarles esta gráfica,
¿no?, que tenemos acá.
Quería usar el graficador, quería usar la tableta también.
Pero ahorita, porque me quedé con la sesión pasada en esto de Graphmática y
esto de derivar, yo quería también que aprovechara ahorita la imagen de
Graphmática, vean ustedes lo que puse en ella, aquí está la expresión que sería,
¿qué?, menos 1 en 80 x cuadrada más un quinto de x.
Graphmática no entiende de tes, estoy dibujando la razón de cambio; y está
dibujada en una zona que se diría, por default,
osea, es la zona que el graficador acostumbra ponernos, ¿no?
Cuando vemos ese gráfico, y nosotros estamos acá pensando en una situación,
deberíamos decir pues como que no es la zona que me conviene, ¿no?
Estoy pensando en el transcurso del tiempo de 0 a 24, bueno,
pues podríamos hacer algo como buscar una opción, ¿no?, que nos permita,
déjenme encontrar aquí esta opción que dice Grid Range, ¿sí?
Es una opción donde se abre una ventana en la que yo voy a poder
decirle al graficador dibújame en donde me interesa,
¿no?, eso es saber usar también el graficador a nuestro favor.
Entonces, vamos a decirle, dibuja desde el menos 1,
mejor, y vete hasta el, ¿qué le ponemos?
¿26, 27?, vamos a poner, para que hayan pasado las 24 horas.
Y los valores seguramente, pues bueno,
vamos a dejarle del menos 4 hasta el 4, y vamos a ver qué nos dibuja, ¿les parece?
Vamos a ver cómo va la variación.
Le decimos okey, y ya tenemos esta imagen.
Bueno, se ve muy bien, ¿no?, podríamos estar diciendo ahí que hay cosas notorias,
por ejemplo, que la razón de cambio de la temperatura,
justo a las 12 que empezamos a ver el fenómeno, es una razón de cambio cero,
porque aquí está en el valor 0.
Después, la razón de cambio es positiva, y después la razón de cambio es negativa,
¿cierto?, ¿sí?
Eso me está diciendo que la temperatura va a crecer y después va a decrecer.
¿Hasta cuándo va a crecer?
Hasta las 16 horas, ¿no?, esas 16 horas, ¿qué vendría siendo para nosotros?
Si empezamos a las 12, serían como eso de las, ¿qué?, ¿4de la tarde, sería?
¿Estoy pensando bien o no estoy pensando bien?
Son las 12 del día, sí, a las 4 de la tarde.
Vamos a pensar ahorita en este lugar.
El lugar en donde la razón de cambio es máxima.
O sea, toda la zona, desde el 0 hasta el 16,
la temperatura va a estar aumentando, ¿no?
Pero, aumenta de distinta manera.
Hay un momento en que se siente, ¿no?, que ese cambio, en menos tiempo,
aumento más la temperatura, ¿no?
En un intervalo de tiempo pequeño, aumenta mucho la temperatura.
¿Cuál sería el significado de eso?
Pues sería el significado del máximo que tenemos ahí.
¿Dónde está ese máximo?
Algebraicamente necesitaría regresar a mi papel para poder hablar de,
¿quién?, de la derivada de la razón de cambio.
Entonces, vámonos a acá abajo, nos traemos para acá.
Y ahora vamos a hacer en este proceso, un proceso de derivar,
¿no?, con naranja estamos derivando la razón de cambio.
Esta razón de cambio derivada sería la segunda derivada de la temperatura.
Y, ¿qué nos va a quedar?
Vamos a derivar acá arriba, bajamos el 2, y nos queda menos 1, ¿menos cuál 1?,
menos 2 entre 80 por t más un quinto, ¿no?, es que ya quería yo
simplificar, menos uno entre 40 por t más un quinto.
¿Okey?
¿Para qué queríamos esta derivada de la derivada?
Porque queríamos saber dónde era el máximo del gráfico la derivada.
Entonces, lo que tenemos que hacer ahorita,
para encontrar ese valor máximo es hacer que esto sea igual a 0,
¿verdad?, esta es una acción algebraica, se las pongo con otro color porque aquí yo
ya estoy metiendo mi mente que anda buscando algo ¿Qué anda buscando mi mente?
Buscando el máximo de la razón de cambio.
Entonces al igualar a 0 me quedó esta ecuación lineal, voy a pasar este término
del lado de acá, para que ya se haga positivo, Y después de que lo pase veo
en un espejo y entonces lo que nos quedó fue 1 entre 40 t
es igual a un quinto, finalmente este 40 pasa acá multiplicando y nos
queda que t es igual a 40 entre 5, o sea igual a 8, ¿no?
Un número muy bonito, el número 8.
En ese 8 lo que estaríamos diciendo es que la razón de cambio de la
temperatura tiene un valor máximo, ¿no?
Si volvemos aquí al graficador en la pantalla, estaríamos entonces encontrando
que en este valor la razón de cambio de la temperatura es máxima.
Tenía que ser, ¿por qué?
Porque nuestra parábola aquí se ve que cruza en el 16, ¿cierto?
Y entonces el vértice tendría que estar justamente en la mitad, en el 8, ¿no?
Para que vean, o sea de distintas maneras aquí todo queda bien claro, ¿no?
El lugar en donde la razón de cambio de la temperatura es máxima es a las 8 horas,
¿okey?
Después de eso es importante pensar en este lugar,
en este 16 que es justamente cuando la razón de cambio es 0.
Para sacar ese valor, ¿qué es lo que tendríamos que hacer?
Si tenemos la relación con lo algebraico encontrar este valor de aquí significa,
¿qué?
Que vamos a, otra vez, igualar a 0.
Si lo vemos en el papel qué es lo que haríamos al igualar a 0,
lo vamos a hacer, igualar a 0.
Pero, ¿a quién?
A nuestra razón de cambio.
La razón de cambio es igual a 0 aquí y entonces lo que tendríamos es esta
ecuación cuadrática,
una ecuación cuadrática que me gustaría mucho resolver con ustedes, pero no lo,
sí lo voy a hacer, claro que lo voy a hacer porque es una ecuación cuadrática
en la que la factorización es una herramienta imprescindible.
Si ponemos aquí menos 1 en 80 t cuadrada, ¿no?
Más un quinto de t igual a 0.
Yo les invito a que factoricemos la letra t y nos quedaría t
que multiplica a menos 1 en 80 t más un quinto.
Cuando uno tiene una ecuación cuadrática como esta es fácil el
pensamiento de que el producto de dos números es 0 cuando cada uno de
ellos pueda ser 0, esta alternativa me lleva a que el tiempo vale 0,
o a que menos 1 en 80 por t más un quinto es igual a 0,
de aquí tiene que salirnos el 16, ¿cierto?
Practicamos un poquito con nuestra álgebra, pasamos este para acá,
dejemos ahora el un quinto de este lado para que vean lo que hice en la hoja
anterior con detalle, después puedo pensar en el espejo, ¿no?
Y entonces lo que tengo de este lado es t y el 80 de una vez lo paso multiplicando
y nos queda 80 entre 5 que justamente nos da el número 16, ¿no?
¿Okey?
Practicamos un poquito con las ecuaciones cuadráticas y ya sabemos entonces donde
está este lugarcito que en el graficador era justamente el 16.
Sabemos este lugar,
sabemos este lugar y con esos lugares podríamos decir que la temperatura,
fíjense como lo voy a platicar con el graficador, está aumentando, ¿si?
La temperatura y aquí es cuando aumenta lo más rápido posible y después
sigue aumentando y yo estoy bajando en el graficador, ¿se fijan?
Pero es que tengo que interpretar que ahí los valores de la razón de cambio son
positivos.
Sigue aumentando la temperatura pero cada vez más lento, llega un momento
en que la razón de cambio es negativa y entonces tengo que interpretar que la
temperatura llegó a un valor máximo y comienza a disminuir, ¿no?
A disminuir porque acá los valores son negativos, ¿si?
Es eh, realmente todo un ejercicio intelectual saber interpretar a partir
de la razón de cambio lo que ocurre con la magnitud pero igual es algo muy
valioso desde el punto de vista matemático y como una habilidad del cálculo.
Yo los invito a que veamos ahora esa gráfica acá.
Graphmatica no tiene ahí la manera de que yo antiderive,
tendría que teclear la función.
Me gustaría mejor que viniéramos a esta otra parte en donde ya las tengo
tecleadas, ¿no?
Para que la veamos ahora con esta nueva tecnología.
Tengo aquí una función expresada que es la que tengo
señalada, se pueden dar cuenta por aquí por este botón azul, ¿okey?
La función es menos 1 entre 80 por x cuadrada más un quinto por x.
Es justamente la que tenemos ahorita acá que igualamos a 0, nuestra derivada, ¿no?
Entonces vamos a graficarla a ella, quiero que la vean y miren lo que pasa con este
graficador, se ve muy distinto de lo que teníamos en Graphmatica, Graphmatica nos
dio la oportunidad de decirle grafícame de aquí a acá y nos quedó ya la imagen muy
bien y ahora este graficador nos da ahí una curva aplastada, ¿si?
Pero nosotros la podemos levantar sabiendo ya de lo que se trata esto,
nosotros estamos, este, digamos conscientes de lo que habría que hacer y
miren esta gestualidad me lleva a tener una imagen pues ya ahí esta, ¿no?
Más o menos, ¿si?
Ya como la teníamos en Graphmatica, aquí se ve que tenemos, ¿qué?
El valor 0 aquí fue 0 la derivada, ¿verdad?
O sea esta gráfica que representa la derivada de la temperatura,
aquí este no me lo dice,
este graficador pero este justamente es el número 16 y aquí debe de estar el 8, ¿no?
¿Cierto?
Entonces con este comportamiento de la función derivada
podríamos irnos a calcular eh, o calcular la gráfica, ¿si?
¿Por qué no?
Calcular la gráfica de la función original.
¿Cuál es esa función original?
Ya la teníamos nosotros aquí en el papel,
nada más lo voy a voltear así para recordarla, ¿se acuerdan?
Es este t, de t igual a dos más un décimo de t cuadrada menos 1 en 240 t cúbica,
¿okey?
Volteamos la hoja, nos vamos a las funciones aquí y yo ya la tenía eh,
aquí justamente, es esta que tengo con rojo, ¿no?
2 más un décimo de x cuadrada menos 1 en 240 por x cúbica, ¿no?
Así se ve en el graficador con la x que es lo único que entiende,
puras x y nos vamos al gráfico y miren lo que obtenemos.
Se nos escapa un poquito la gráfica, vamos a bajarle por aquí
y entonces pues la zona que necesitamos realmente es hasta el 24, ¿se acuerdan?
O sea el 24 debe estar por aquí, esta imagen déjenme apachurrarla un poquito,
esta imagen ya me estaría diciendo que la temperatura está aumentando
cada vez más rápido,
la máxima razón de cambio se tiene a las 8 horas y luego sigue aumentando, ¿eh?
En toda esta zona de aquí sigue aumentando la temperatura pero cada vez más lento,
llega a un valor máximo a las 16 horas
y entonces la temperatura comienza a bajar, ¿okey?
Esta, este tipo de graficadores tiene la ventaja de que ahora tienen
este tipo de expresión en donde podríamos estar variando, si ustedes
pueden observar aquí arriba, es el valor de la x, el valor de la y1 y la y3.
Bueno, pues, es que hay que interpretar aquí, ¿no?
Pero si yo me muevo sobre la curva, al moverme sobre la curva ya me marcó
donde está el mínimo valor, al moverme me está diciendo acá, si ustedes
observan en esta parte, cuáles son los valores que tiene ahí la temperatura, ¿no?
Y ahí estamos llegando, ¿no?
A ciertos valores, ahí estamos llegando a un valor máximo, ¿no?
En ese valor máximo ustedes pueden ver acá que los valores de,
fíjense, en este valor me está diciendo un, wow,
un número chiquitititito realmente se trata de un 0,
a lo mejor ahorita el graficador está asignando valores a esto y,
y no está tomando en cuenta que sea exacto en esta parte de acá, ¿no?
Siempre hay sus cuestiones con la tecnología, ¿no?
Ahorita sí le pedí la instrucción creo yo,
sí, de que snap dice aquí to min max, ¿okey?
A lo mejor si le hubiera dicho snap a lo otro, miren acá ya se puso sobre el 0,
root found o sea encontró un 0 para la derivada
y si nos vamos acá arriba tenemos el máximo de la función.
Esa es una buena ventaja, ¿no?
De este graficador,
con este graficador ya podríamos nosotros predecir los valores de la temperatura.
Allí está la razón de cambio negativa, la temperatura está bajando
y después vamos a llegar justamente a las, a las 24 horas,
ya encontró aquí una raíz, bueno pero esa raíz no viene siendo un dato de nosotros,
para nosotros el dato importante serían las 24 horas, ¿no?
Cuando lleguemos a la temperatura, ¿no?
Al día, ¿no?
Que se ha cumplido y eso tendría que ser justamente cuando lleguemos aquí a los 2
grados pero ni me deja porque el quiere irse a la raíz.
Vamos a ver.
Aquí sería, necesitaría decirle que no me señale nada, ¿no?
Y allí sería en el 2, la temperatura 2 cuando regresamos, ¿no?
A la temperatura inicial, no se queda el puntito.
Ahí dejo el dedo y ahí queda el 2.
Está modelado, ¿no?
Con esta curva, tengo que usar otra mano ahora, ¿no?
Esta curva que crece y luego decrece, lo que pasó con nuestra temperatura.
Y somos capaces de decir crece cada vez más rápido, sigue creciendo cada vez más
lento, llega a un valor máximo de la temperatura y comienza.
baja hasta que ya dio las 12 de la noche otra vez y un nuevo día vuelve a comenzar.
Este fue un ejemplo del comportamiento de la temperatura,
por eso le pusimos si la temperatura fuera una cúbica, ¿no?
Igual podríamos hablar de otra problemática relacionada con el cálculo
y que tiene que ver con situaciones en donde hay, digamos, cosas discretas,
datos discretos, pero que a la larga se comporta como si fuese algo continuo.
Me voy a referir a una situación que a lo mejor sería muy bueno tener la imagen,
las fotos en la gráfica, en la pantalla.
Como pueden ustedes ver en la imagen, o sea, se trata de producción.
Se están produciendo artículos, ciertos artículos Por eso les digo,
bueno, en dado caso tendríamos que hablar de un artículo, dos artículos,
tres artículos, no uno y medio, ¿no?
Pero, igual como nos pasó en el caso, ¿no?, de las enfermedades,
del contagio de enfermedades, bueno, los modelos matemáticos a la larga,
como quiera, son, funcionan, ¿no?, son funcionales.
Entonces, tenemos ahí que se está produciendo algo.
Podríamos ver una siguiente imagen.
Es una cadena de producción.
Algo también se va a exportar, ¿no?
Algo que ya se produjo se va a exportar y,
bueno, pues en la siguiente imagen vamos a ver una bonita imagen de textiles, ¿no?
Parecen de aquí, de México o bueno, de tantas zonas que tenemos aquí en América,
¿no?, tan linda.
Y, este, bueno, pues, eso es lo que se está haciendo, se están produciendo
y se están, este, guardando en cajas, y se están distribuyendo, ¿no?
Cuando uno habla de estas cuestiones,
tiene que hablar de un costo de producción, ¿okey?
y me gustaría que ahora pasáramos en mi filmina a ver la información matemática
de ese costo, o sea, ese costo de producción tiene una derivada.
La derivada del costo se le llama el costo marginal, o sea,
es como un interpretar el costo en el margen, ¿no?
Y, sería, en este caso, dada por la fórmula que estamos viendo.
Una función de costo.
Si uno simplemente lo piensa, ¿no?, tiene que tener un valor inicial, porque
es lo que me cuesta, es lo que se llama el costo fijo, o sea, ya tengo yo mi lugar,
mi fábrica, mis costos fijos de lo que me cuesta la renta, del equipo, ¿qué se yo?
O sea, hay un costo fijo, esa magnitud tiene un valor inicial, ¿okey?
Y después va a tener lo que le afecta dada esta razón de cambio,
¿no?, la que tenemos aquí.
Pero esa razón de cambio, este,
me va a permitir, o sea, hacer algunas afirmaciones.
Por ejemplo, ¿no?, ¿qué pasaría, este, si pasa el tiempo?
¿Será posible que el costo disminuya?
O sea, será posible y, ahorita dije tiempo, pero perdónenme, o sea,
ahorita estaría pensando en la cantidad de productos que estoy produciendo.
¿Será posible que si produzco más, okey, más de esos productos, el costo disminuya?
La verdad es que no, o sea, siempre cuesta, siempre cuesta más.
Si mi variable ahorita no es el tiempo, sino es una
x que representa el número de artículos o decenas de artículos, entonces,
necesariamente, yo diría pasa el tiempo, ahora diríamos hago más artículos,
produzco más artículos, el costo tiene que subir, o sea,
la función de costo tiene que ser una función creciente, ¿no?,
¿de acuerdo?, o sea, los costos se van al infinito, o sea, realmente, entonces,
uno mejor ya no hace negocios.
Pues no, o sea, vamos a ver qué otras variables puede haber ahí interviniendo,
¿no?
Este hecho de que el costo sea creciente siempre, me
dice que esa derivada que estoy viendo ahí tiene que ser siempre positiva, ¿sí o no?
Eso es algo que hemos aprendido, ¿no?
Entonces, bueno, pues, vayamos ahora a un graficador y veamos, ¿sí?
en este graficador lo que podríamos decir acerca, ¿no?, de esa gráfica del costo.
Vamos a prepararnos otra vez aquí con el graficador,
voy a quitar las que teníamos antes y les voy a poner esta, que es un,
fíjense como lo puse aquí: 3, ahí está,
3 por 20 menos 8x más x cuadrada.
Si ustedes observan otra vez lo que teníamos en la diapositiva,
en la computadora, se ve distinto.
Fíjense, ahí, ahí dice 60- 24x más 3 x cuadrada,
¿qué fue lo que hice cuando la dibujé acá?
Puse 3 por 20, que da el 60, menos 8,
3 por 8 es menos 24x, más 3 por x cuadrada, 3 x cuadrada.
Es justamente lo mismo, nada más que a mí me gusta factorizar y entonces dije ahí
hay un tres que puedo sacar desde el principio, ¿no?
Ahí está la gráfica.
Vamos a verla dibujada, ¿qué nos dice el graficador?
No nos dice exactamente nada, porque no se ve nada, ¿cierto?
Pero nosotros sabemos que tiene que haber algo por allí y tiene que haber
algo en la zona positiva, porque decíamos que el costo siempre tiene que crecer,
entonces su derivada debe ser positiva, entonces lo que hice fue esto, y dije ¡ya!
Ahí apareció, ¿no?
Aquí tenemos la función de costo, digo, perdón de costo marginal, la derivada
la voy a atrapar bien para verla completa y ahí se nota que es una función,
es una parábola, pero ahora es completamente en la zona positiva,
no tiene intersecciones con los ejes, eso me está diciendo que el costo
no va a tener ni un máximo ni un mínimo, cosa que nos esperábamos ya.
O sea, el costo, en este caso, sería una función que tiene un comportamiento
de cúbica con un solo punto de inflexión sin máximos ni mínimos, ¿no?
¿Cómo podríamos encontrar entonces el punto de inflexión?
Queremos calcular ese punto de inflexión.
Ahí sí nos tendríamos nosotros que ir al papel, ¿verdad?
Entonces, vámonos al papel rápidamente.
Quitamos nuestra gráfica y pongamos aquí nuestra función, ¿no?
C'(x) es igual,
la estoy copiando de acá, 60 menos 24x más 3 x cuadrada.
Lo que hice ahorita en el graficador fue que les puse un 3 que
multiplica a 20 menos 8x más x cuadrada.
La tenga así o la tenga asá, yo la puedo derivar, ¿no?
¿Qué es lo que tengo que hacer para derivarla?
¿Y por qué la quiero derivar?
Pues porque quiero saber el punto de inflexión del costo y,
eso viene siendo el mínimo de esta gráfica, ¿cierto?
Quiero encontrar este lugar, esa es mi pregunta, ¿okey?
Entonces, por eso, la derivo, C''(x) es igual,
el número 3 ahí se va a quedar, el de acá, y ¿me queda qué?, menos 8,
el número de aquí, el 20 desapareció, menos 8 más 2x, ¿no?
Y en este momento que ya derivamos, vamos a ponerle aquí derivo y,
ahora, ¿para qué quiero hacer esa derivada?
Pues porque lo que queremos es igualo a 0, ¿no?,
es una igualación a 0 y esta igualación a 0 tiene una razón de ser,
estamos encontrando ese lugar en donde la derivada tiene un mínimo y,
por ende, la función costo tendrá un punto de inflexión.
Hacemos esto igual a 0, el 3 nunca va a ser 0,
lo que va a ser es menos 8 más 2x igual a 0.
De ahí, el 2x es igual a 8 y, finalmente, x es igual a 4, ¿no?
Entonces son operaciones muy bonitas aquí, para no complicarnos la existencia en este
momento y, entonces, nos vinimos para acá y estamos viendo que este numerito que
yo ni alcanzaba a ver, ese numerito es un 4, ¿okey?
En ese cuatro tengo el valor mínimo de la razón de cambio.
Podría decir cuál es ese valor si me pongo a evaluar la función derivada,
pero no es el momento ahorita.
Ahorita el momento fue analizar esta función de costo total y por qué el costo
marginal, o sea, su derivada, es algo que informa, ¿no?, sobre la función costo.
Pero entonces volvamos ahora sobre nuestras expresiones algebraicas, o sea,
ya analizamos muy bien la derivada, ya vimos gracias a su derivada, o sea,
a la segunda derivada del costo, ya vimos que en x igual a 4 es donde tiene su valor
mínimo y, entonces, ahora lo que vamos a hacer es, bueno, primero construyamos la
función costo, para lo cual necesitaríamos tener un costo inicial, ¿no?
Lo que se llama el costo fijo.
Entonces vamos a hacer suposiciones,
pensemos que hay para producir x cantidad de materiales,
¿no?, necesito primero tener una inversión de el costo fijo de unos 40000 pesos.
Entonces, pensemos en miles de pesos,
que nuestra x sean decenas de productos de textiles ¿no?
Y que nuestro costo inicial, que sería el costo en cero,
que fuera un 45 y sean miles de pesos, ¿no?
Entonces, con este dato inicial y con la razón de cambio del costo debemos de
ser capaces de encontrar la función costo, ¿no?
De eso se trata este curso, entonces, para encontrar la función costo,
¿qué es lo que vamos a hacer?
Pues ahora nos vamos a ir desde aquí hasta acá abajo, ¿no?
Y ahora la palabra es antiderivada, ¿okey?
Entonces vamos a antiderivar y, entonces, para eso, bueno,
ponemos nuestro costo fijo y después, por este término que tenemos aquí,
este 60, nos quedaría 60 por x,
luego por el menos 24 pondríamos menos 24 x cuadrada entre 2.
y luego sería un más 3 x cúbica entre 3 ¿cierto?
y antiderivamos, podríamos expresar más compacta esta fórmula, ¿no?
porque hacemos alguna que otra operación aquí, 45 más 60 x,
el 24 entre 2 es un menos 12 x cuadrada, y el 3 entre este 3,
qué bonito se nos cancelan y nos quedan nada más una x al cubo ¿sí?
Tenemos entonces nuestra función de costo, qué les parece si vamos a ver la gráfica
de costo, ahorita utilizando este recurso, ¿no?, que tenemos no está nada mal.
Entonces vamos a poner nuestra función, ya la traigo aquí, déjenme la preparo,
nada más y entonces,
dentro de la función, aquí está,
tenemos ahora las expresiones siguientes, la num, la que tenemos en el tono verde,
observen ustedes, si se puede y aquí tenemos nuestra fórmula, 45 más 60 por x,
más 2 x cuadrada, más x cúbica, menos 12 x cuadrada, sí lo tengo bien,
estaba yo comparando acá conmigo, menos 2 x cuadrada más x al cubo ¿okey?
Tenemos ahorita que nos grafique esa y que nos grafique su derivada,
que es la que acabamos de ver hace ratito, ¿okey?
Entonces vemos los gráficos y miren la, la sensación,
aquí está la derivada y aquí va la gráfica del costo, ¿de acuerdo?
No se ve completa,
necesariamente tendríamos que hacer algo así y ahorita ya se observa por aquí,
¿no?, que justamente en el 4 este lugar de aquí, es el punto de inflexión, ¿cierto?
Podríamos hacer algo como esto, deformar un poquito los gráficos, ¿no?
para tener una impresión mejor, y esto de aquí, ya se
nos pasa aquí al 5, pero realmente es en el 4 donde teníamos el punto de inflexión.
Este gráfico del costo nos está diciendo, el costo siempre aumenta, ¿no?
Siempre está aumentando, ¿okey?, pero aumenta,
cada vez más lento hasta que llegamos al 4,
o sea sería un 4 para x significaría 40, 40,
la producción de 40 ¿no?, de los digamos, textiles, ¿no?
Y después de ese valor, empiezo a producir más textiles,
pero el costo está aumentando nada más que cada vez más rápido o sea,
esto hace que uno tome decisiones ¿no?
Como que esta zona de aquí donde se encuentra el punto de inflexión, es el
lugar en donde uno toma decisiones en su negocio de si produce o no produce más,
porque esto, si las cosas están funcionando así, en los costos,
se nos pueden ir por las nubes, ¿no?
Realmente ahorita la idea fué,
el presentarle a ustedes dos ejemplos de funciones que, tienen
la forma de una cúbica y la forma de una cúbica es diferente, o sea,
en una vimos que hay un máximo, fue el máximo de la temperatura en el día y
en este caso es una función cúbica que no tiene ni máximo ni mínimo pero en ambas,
la información clave también ha sido el punto de inflexión.
Punto de inflexión es un punto clave para tomar decisiones en un negocio y en
el caso de la temperatura bueno, pues era ese, momento, ¿no?, ese instante en el que
el cambio de la temperatura, se estaba dando lo más rápido posible, ¿no?
Esta digamos, lección, que habla sobre las funciones cúbicas,
no podemos separarla de las funciones cuadráticas.
Este curso, como lo hemos construido trae la idea ¿no?,
de que en cada momento que un modelo matemático, lo hemos construido, el mismo,
fue construido a partir de su razón de cambio, de esta manera, función y derivada
o derivada y antiderivada, ¿no?, están conectadas con un mismo objetivo.
¿Cuál?
El predecir valores de una magnitud que está cambiando.
[MÚSICA]
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