Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Aplicación: Hablando de coches…
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Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
299 notes
Tecnológico de Monterrey
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À partir de la leçon
Valor Exacto Del Cambio Acumulado: Modelo Polinomial
La práctica de predicción de valores de una magnitud que está cambiando a través de la estrategia numérica del Método de Euler nos permitirá reconocer los modelos matemáticos polinomiales. Asociaremos con ellos los procesos de derivación e integración desde una perspectiva teórica y también algebraica.
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Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues acabamos este módulo cuatro con nuestro video de aplicación.
Y bueno en aplicación pues ya se imaginarán de qué aplicaciones estaría yo
hablando ¿no?
si volteamos y vemos esa y linda imagen de un coche.
Realmente las imágenes que estamos poniendo son muy atractivas,
veamos la siguiente.
Estamos ambientando ahorita ¿no?, ¿de qué estamos hablando?
un coche en movimiento.
Ese coche ya se va a mover sobre curvas ¿no?
veamos otro, sobre curvas las velocidades no tienen que ser constantes
ahora ya nos atrevemos a muchas más cosas ¿no?
Para representar esa velocidad pasemos a uno último,
este me encanta por ese cielo ¿no?, ese cielo y el coche en
movimiento esta es una ambientación ¿no?, es una ambientación ¿para qué?
para volver sobre lo duro, sobre las matemáticas vamos a ver otra vez
este contexto del movimiento de coches ¿no?
para poder hacer otras generalizaciones más que nos capaciten
completamente en esto de derivar y antiderivar.
Si me acompañan entonces al papel, ya preparadas.
Ya teníamos aquí nuestras formulitas, lo que habíamos trabajado y bueno
pues a lo mejor ahorita todavía están frescos en su memoria de decir esta es
la función f de x y esa es su derivada f prima de x.
Esta es la magnitud m de x y aquí está su razón de cambio r de x.
Este fue el origen el volumen de agua en un tanque,
lo que se estaba llenando y la razón de cambio litros por minuto ¿no?
que estaba ahí cambiando.
Si me voy al contexto de los coches, pues las letras que vamos a usar son,
o sea, en lugar de F, M,
V mayúscula vamos a decir X de t ¿no?.
X de t es igual a t a la n, decir que la posición
depende del tiempo y en lugar de F prima,
R o R igual R de x, R de t acá vamos a decir v
de t que sería igual a n, t a la n menos uno.
O sea, en este momento con estas dos que están aquí estamos volviendo
al contexto de los coches.
Estamos hablando de la posición de un coche y estamos hablando de la
velocidad del coche, la velocidad es la derivada de la posición ¿okey?
Y el contexto de coches me va a permitir con ustedes hacer otros
razonamientos que ahí son muy intuitivos ¿no?
Y que nos van a permitir hablar de esto, o de esto ¿no?, o de esto también.
O sea, poder intercambiar los roles entre estos dos objetos matemáticos.
Entonces si me acompañan al papel vamos a empezar con estos,
aquí tenemos estas dos expresiones ¿cierto?
la posición del coche y la velocidad.
Y entonces el razonamiento simple que les decía yo es fácil de pensar
incluso en palabras.
O sea, si yo voy en mi coche ¿no?, digamos a 30 kilómetros por hora ¿no?
en una zona escolar ¿sí?.
Ahí la escuela es tan larga,
tan larga que pasa una hora para que la pueda yo recorrer.
Entonces, recorro una cierta distancia en esa hora ¿no?
¿Qué pasaría si en lugar de llevar la velocidad de 30,
llevara una velocidad de la mitad de 30 o sea 15 kilómetros por hora?
La distancia que yo recorrería
sería pues la mitad de la distancia que recorrí antes ¿no?, ¿si me explico?
O sea, hay una relación natural entre la velocidad que uno puede percibir ¿no?
que se lleva y estar pensando que uno se mueve con el doble de la
velocidad o la mitad de la velocidad.
Porque ahí la implicación sobre la distancia recorrida es la misma ¿sí?
Entonces en ese sentido yo los invito a que juguemos con las fórmulas de esta
manera.
O sea, voy a poner una velocidad vamos a pensar ahorita que nuestra
velocidad fuese dos t, o sea, estoy actuando con respecto a esta fórmula.
La posición sería t cuadrada ¿no?
O sea, estoy actuando con respecto a esta fórmula ¿no?,
donde estoy usando la n como el número dos.
¿Okey?
Pero si ahora yo pensara ¿no?, que estoy recorriendo ¿no?
una distancia con la mitad de esta velocidad eso sería como pensar
matemáticamente en que v de t fuese igual a dos t entre dos ¿no?
La mitad de la velocidad, si llevo la mitad de la velocidad es como que
natural pensar que voy a recorrer la mitad de la distancia ¿no?
¿Cierto?, esto me lleva a proponerles que para v de t igual a t,
x de t es t cuadrado entre dos ¿de acuerdo?
Si ahora con esta fórmula trabajo y propongo, vamos a cambiarle el color.
Que la velocidad fuese
el triple de lo que llevaba aquí, o sea, tres t.
La distancia que recorrería sería el triple de la
distancia que recorrería antes ¿no?, que recorrí antes ¿sí?
O sea, me estoy basando fíjense ahorita estoy haciendo de
este un lugar sobre el que estoy apoyando mi pensamiento.
Cuando la velocidad v de t es t, la posición es t cuadrada entre dos.
Y si fuera el triple de esa velocidad, la posición sería el triple.
Y si fuera la tercera parte de esta velocidad,
entonces la posición sería la tercera
parte de la posición de antes ¿no?
¿De acuerdo?
Si la velocidad fuese k veces, k veces la velocidad que llevaba antes,
entonces la posición va a ser k veces la posición
a la que llegaba que es lo mismo que la distancia recorrida antes ¿no?
Con esto estamos generando una expresión matemática ¿verdad?,
que es la que vamos a poner digamos sobre la mesa ¿okey?
¿Pero en términos de qué?
Pues en términos de la derivada ¿les parece?
O sea, en este caso lo que tendríamos nosotros es esta es la
derivada y esta sería la magnitud ¿no?
de la que la magnitud cuya derivada es esta.
O sea, tengo una manera de proponer aquí.
Si F prima de x es k por x, ¿qué estoy haciendo?
La velocidad es la derivada y en lugar de t pongo x ¿no?
y en lugar de t pongo x.
Entonces, si la derivada es k por x, ¿quién es la función?
La función sería k,
x cuadrada sobre dos ¿sí?
Lo que hice fue cambio la t por x y en lugar de la posición hablar de la función
en general.
¿Okey?
Vamos a ponerlo en limpio acá en la siguiente hoja o lo hacemos en un
papelito.
Vamos a hacerlo en un papelito de un color distinto para, para variar ¿no?
Si la derivada es k por x,
entonces la función es k por x cuadrada entre dos.
¿Sí?
Ahorita no estoy agregándole que el tanque tuviera 20 litros o
que el coche ya estaba en la posición 25 kilómetros, no.
Estoy dejando como que el valor inicial de la magnitud de cero para que el cambio
acumulado coincida ahorita con el valor de la magnitud o de la función.
Entonces estas dos formulitas, voy a limpiar mi hoja.
Aquí están, ¿de acuerdo?
Se generaron a partir de pensar en las velocidades ¿no?
Vamos a hacer una más, o sea una generalización más en este sentido.
Recuerdan ustedes que ya teníamos que cuando x de t es t a la n,
entonces la v de t, ¿dónde está la v de t?
Ya se me perdió mi v de t.
¿Dónde quedó la v de t?
Aquí está, v de t es n, t a la n menos uno ¿no?
Entonces vamos a agarrar otra vez otro valor,
vamos a ponerle aquí un número tres.
¿Cierto?
Entonces lo que tenemos es que la velocidad sería
tres t al cuadrado, eran cosas que ya sabíamos.
Esta corresponde con la posición que es t al cubo.
¿De acuerdo?
Estoy poniéndole la n un tres ¿okey?
Y ahora me voy al contexto de los coches.
Y vuelvo a pensar en los coches, vamos a poner el coche,
a ver vamos a pensar en el coche en un segundo para ponernos en el
ambiente y volver sobre nuestras fórmulas.
Ahí está el coche, que lindo cielo.
Que lindo cielo, Ya, muchas gracias, muchas gracias.
Ahora vamos a regresar aquí a las fórmulas fue un descansito en la mente ¿no?.
Ahora, pensando en coches.
Consideremos que en lugar de llevar esta velocidad llevamos la
tercera parte de esa velocidad, ¿okey?
Entonces, la distancia recorrida sería la tercera parte de la que recorrí antes.
¿Okey?
Esto ya me lleva a expresar que si v de t es igual a t cuadrada,
entonces x de t es igual a t cúbica entre tres.
¿De acuerdo?
Y este es entonces el momento de señalar esta
expresión que nos estaría conectando con otras cosas,
como por ejemplo, si la velocidad es t cuadrada, la posición es t cúbica
entre tres y si la velocidad fuese el doble de t cuadrada entonces
la posición sería el doble de t cúbica entre tres.
Y si la velocidad fuese el,
la cuatro veces la velocidad original que es esta.
Entonces, la posición sería cuatro veces la posición
recorrida o la distancia recorrida antes, ¿no?
Otra generalización, se fijan.
En este lugar que está aquí, en este número cuatro que está aquí, dónde está,
aquí está.
En ese número cuatro yo puedo pensar en cinco, seis, siete, lo que sea.
Vamos a decirle ahora, no voy a poner n, ¿qué voy a poner?, k.
Porque k ahorita es como el parámetro, ¿no?, que está afectando a esta expresión.
Y entonces esa k la vamos a traer aquí para que vean que,
que estamos en lo mismo, me voy a ir a la parte de arriba,
me voy a ir con un color este, más eh, apropiado ahorita, como el naranja.
Y esta parte de aquí se va a poder expresar de tal manera
que si la velocidad es k veces t cuadrada,
entonces la posición
sería k veces t cúbica
entre tres, ¿no?, ¿sí?
Y en términos de derivadas, ¿qué es lo que podríamos decir?
Llevamos estas dos, ¿no?
Si f prima es k x, f de x es k, perdón, k x cuadrado entre dos, ¿no?
Pues ahora diríamos si f prima, porque la f prima es la derivada, es la velocidad.
Si f prima de x es k x cuadrada,
entonces quién sería la función.
La función sería, me la traigo de acá,
sería k veces x al cubo entre tres.
¿De acuerdo?
Ya llevamos estas dos, ¿cierto?
Si ahorita se las pongo en una hoja nueva, vamos a ponerla en una hoja nueva.
Parece que estoy haciendo magias aquí, ¿verdad?
Nada por aquí, nada por acá, mh.
Pero ustedes saben que todo esto es bien real.
Así salieron las fórmulas, ¿no?
Ni modo.
No sé si ya pueden ustedes pensar quién es la que sigue.
¿Quién sería la fórmula que sigue si hacemos ahorita otra vez nuestro
proceso de inducción, no?
O sea, la tercera vamos a pensar un poco, paso a pasito, ¿no?
La tercera sería poner aquí en lugar de f prima, poner de k x cuadrada perdón,
pondríamos f prima de x es igual a k por x al cubo.
Y aquí la función sería k por x a la cuarta entre cuatro, ¿verdad?
Así como se puso aquí x cúbica entre tres, aquí sería k x cuarta entre cuatro.
Y en general diríamos, si f prima de x es igual a k por x a la n,
entonces f de x es igual a k
por x a la n más uno entre n más uno.
¿No?
Porque acá era n y acá es, es n más uno.
Así como aquí era tres y aquí es cuatro.
Aquí es dos acá es tres, ¿no?
Y entonces tenemos este expresión de donde ahora partimos
de ésta que es la derivada, vamos a ponerle con el color bonito este,
la derivada ¿y qué nombre le vamos a poner a esta función de acá?
Esta función es tal que ésta es su derivada.
O sea, ella es tal que ella es su derivada.
O sea, ella es la antiderivada.
¿No?, de la función que tengo acá.
O sea, la antiderivada, ¿por qué?
Porque ella es una función cuya derivada es esta.
¿Sí?
Ella es la antiderivada de esta expresión.
Y ella es la derivada de esta expresión.
¿Sí?
Y ahí están conectadas la derivada y la antiderivada no con este manejo
algorítmico o algebraico, no, que hemos estado nosotros haciendo.
¿Cierto?
Tenemos entonces dos fórmulas, dos maneras.
Una ida y un regreso, ¿no?
Los voy a dejar con esta hojita última, ¿Sí?
En donde podamos concretar esto nuevamente.
Para que ustedes vean, ¿no?
Que como es tu algorítmico puede ser divertido, a muchos nos gusta, ¿eh?
A mí sí me gusta hacer estas cosas también, ¿no?,
pero también me gusta entender de donde salen, ¿no?
Entonces una sería, si yo les digo que la función es f de x igual a k por x a la n.
¿Okey?
Entonces yo esperaría que ustedes conectaran
que la derivada es k bajo la n,
dejo la x, a la n le quito uno, ¿sí?
Eso los vimos, más que todo lo sacamos del contexto de tanques.
Pero ahora la idea sería también que sean capaces de decir si la
derivada es k por x a la n, ¿sí?
Es la que acabamos de ver hace un momentito, entonces la función
va a ser que la antiderivada es k x a la
n más uno entre n más uno, ¿sí?
Y entonces estos se vuelven procesos algorítmicos,
aquí se dice yo derivo y aquí digo yo antiderivo, ¿sí?
Cuando derivo se baja el exponente y a la x la dejo con el exponente quitándole uno.
Cuando antiderivo en la expresión x a la n,
al exponente le agrego uno y divido entre ese exponente, ¿no?
Vean ustedes que lo que estoy haciendo ahorita es, eh,
tratando de juntar lo que ustedes pueden conocer, ¿no?, con una misma expresión.
Porque les digo como quiera en matemáticas en el cálculo el personaje fue la función.
Entonces a la función que es la misma se le deriva o se le antideriva, ¿no?
Y esto ya nos hace, ahorita están separadas como función y derivada, ¿no?
Pero nos hace tener como un proceso, ¿no?, en donde en el centro voy
a tener una función que va a ser k x a la n.
Que se llama una función potencia
porque está elevada a la potencia n, ¿sí?
Y entonces puedo hacer esto hacia acá, puedo derivar.
Si yo derivo aquí voy a tener f prima de x igual a k n x a la n menos uno.
¿Sí?
Pero también puedo pensar que ella, ella es la derivada de otra.
¿Okey?, ella es una derivada,
o sea, ella es una derivada como acá en mi dedo en lo naranja, ¿no?
Y entonces puedo decir antiderivo.
Y pensar entonces en una fórmula, que le vamos a poner una f mayúscula,
para la antiderivada de esta función.
Y esa fórmula sería k x a la n más uno entre n más uno, ¿okey?
Y entonces tenemos juntos los dos procesos,
¿no?, los dos procesos de cálculo.
El proceso de derivar y el proceso de antiderivar.
El personaje central en la función, la función potencia.
Y ya sabemos entonces derivar la función potencia,
¿cómo se le hace para derivar la función potencia?
Si es k x a la n, entonces dejo la k, en la derivada dejo la k,
bajo el exponente y a la x le quito uno en el exponente.
Si voy a antiderivar un función potencia k x a la n, ¿qué es lo que hago?
Bueno, pues entonces dejo la k y a la x le agrego uno al exponente y divido
entre n más uno y todo se vuelve un juego de letras otra vez, ¿no?
Yo les digo, dije que era la última hojita ya antes y les eché mentiras,
pero bueno vamos a hacerlo en esta para que no, si sea la última hojita.
Aquí les digo si y es igual a tres x a la siete, ¿no?
¿Quién es la derivada?
Y prima es igual a tres por siete por x a la seis, ¿no?
21 x a la seis.
Quién es la antiderivada, ¿no?
Vamos a ponerle y mayúscula,
y es igual a tres x a la siete más uno entre siete más uno, ¿no?
O sea, sería tres octavos de x a la ocho.
¿Cierto?
O sea, estoy haciendo ahorita que ustedes a partir de este objeto que es
la función sepan derivar y sepan antiderivar, ¿no?, a estas funciones.
Funciones que, como les he dicho, se llaman funciones potencia.
Yo creo que hasta aquí los dejo, ¿no?
Ya es suficiente de esto,
espero que podamos practicar con esto de derivar y antiderivar.
Ustedes ya saben que nuestro personaje principal ahorita es la función.
Esta, esta imagen de aquí es, digamos, el fruto de este módulo cuatro.
Abordamos, eh, contextos el de lo llenado de tanques,
el de los coches también y a través de la computadora, de Excel,
de Euler, todo, todo nos ayudó para llegar a visualizar estas fórmulas,
¿no?, que ahorita se convierten en una algoritmia de derivar y
antiderivar.
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