Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
De MRU a MUPI
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En provenance du cours de Tecnológico de Monterrey
2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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À partir de la leçon
Concibiendo un movimiento MUA
Retomaremos el Movimiento Rectilíneo Uniforme para con él concebir un movimiento en el que la velocidad varíe uniformemente. En esto la tecnología tendrá una participación decisiva. Podremos entonces hablar de un Movimiento Uniformemente Acelerado.c
Rencontrer les enseignants
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Bienvenidos a nuestro primer video para este nuevo tema que es el modelo
cuadrático. Vamos a llegar a este modelo cuadrático
despacito. Viendo una transición con respecto al
modelo lineal. Si recuerdan en la última de nuestras
presentaciones los dejé con una incógnita que a lo mejor no es tanto, para algunos
de ustedes, a lo mejor para algunos sí. Ojalá y que pueda yo provocar con estos
videos hacerlos pensar un poquito mas de lo que pudieran haber pensado antes.
Ojalá. Ése es mi deseo, y mi deseo también es
hacerles las cosas entendibles. En ese sentido yo puedo asegurarles que
para entrar a definir este tipo de modelo puedo meterme en la teoría matemática y
hacer las cosas desde ese punto de vista formal, pero en este curso lo que hemos
decidido es hacer una presentación de la matemática que sea accesible, que sea
amigable, diría yo. Utilizar la tecnología en la medida de lo
posible para que ustedes tengan contacto con ideas matemáticas, y con procesos
matemáticos de una manera más, más sencilla, diría yo.
Me gustaría ahorita tratar de transmitir cual es el objetivo en este primer video.
Recuerden que nos quedamos en que Galileo you concebía que la velocidad en un
movimiento en caída libre sería proporcional al tiempo transcurrido.
Variaría conforme al tiempo transcurrido y de una manera uniforme.
Eso nos permite you modelar matemáticamente a la velocidad.
Matemáticamente, ¿a qué me refiero?, me refiero a que uno sea capaz de dar una
expresión matemática, o sea you podríamos decir v de t es igual a nueve punto ocho
t, o sea you tenemos caracterizado el modelo matemático pero para la velocidad
no para la posición. La posición es lo que estamos tratando
ahora de entender en todo este tema. En todo el tema, no en este video.
Entonces ahorita lo que me gustaría es ahondar sobre esa velocidad que esta
variando. Entonces si me acompañan yo quería
ahorita mostrarles, hice unos ejes, no están muy muy derechos pero quería darles
una idea de lo que ando buscando con este video.
Entonces ustedes pueden ver aquí en mi post it que tengo un eje.
Vamos a ver este eje donde está dibujado en la vertical una velocidad, y en la
horizontal un tiempo. Vean ustedes que esto es importantísimo
no solamente como lo estamos viendo en el gráfico de velocidad contra tiempo, sino
también en las tablas como lo hicimos en la ocasión anterior.
Entonces ahorita you les estoy yo provocando que piensen en velocidad y
piensen en tiempo, y vamos construyendo el modelo de la velocidad, no el de la
caída libre. Vamos a tomar un número más sencillo.
Pensemos que v de t es igual a dos t. Yo les decía en aquella ocasión como este
dos t está, digamos es una expresión algebraica en donde destaca el dos.
Me ha pasado en las ocasiones que pregunto esto en los salones de clase a
los estudiantes. Les pregunto si esta velocidad es
constante. Muchos piensan que sí.
Muchos piensan que sí, pensando a lo mejor en este número dos Ese número dos
que llama, digamos, la atención no lo sé. Puede haber distintas razones.
Lo que yo quiero es solamente ahora remarcarles que es importante cuando uno
ve una expresión algebraica, observar ahora esta letra t.
Esta letra t que esta aquí también, es la que me está diciendo que la velocidad
varía con respecto al tiempo. Nuestra velocidad está variando.
Distintos valores de t, distintos valores de la velocidad.
Si hago una representación gráfica de este modelo matemático, la representación
sería algo así, eso es algo que you hemos visto antes, cada vez que yo doy un
tiempo, por ejemplo en uno, esto vale dos.
En el número dos esto vale cuatro y así me puedo ir, pero así me puedo ir como
uno se va típicamente, pero también podría decir y en uno punto uno vale dos
punto dos, y en uno punto dos etc etc. Lo que yo quiero también es romper con
una visión muy digamos muy discreta, de lo que son los números.
Aquí anda el uno punto uno, el uno punto dos, el uno punto tres y bueno si trajera
yo mi lupa ahora les diría: y en esta zona de aquí entre el uno y el uno punto
uno anda el uno punto cero uno, el uno punto cero dos y entre el uno y el uno
punto cero uno, anda el uno punto cero cero cinco por ejemplo, o sea todo esto
que estoy razonando con ustedes, trae la idea de que vean aquí que hay una
variación. Una variación en los valores del tiempo
que me está diciendo en cada uno de ellos un dato de velocidad.
Entonces si yo les digo ¿cuál es la velocidad a los un segundos?, la
respuesta es dos metros por segundo, pero esa velocidad inmediatamente va a
cambiar. you no va a ser dos.
En el uno punto cero cero cero uno, you va a ser un dos punto cero cero cero dos.
Está cambiando en cada instante, y you habíamos discutido con anterioridad yo no
puedo decir que del instante uno punto cero cero uno va a seguir el instante uno
punto cero cero dos. O sea a lo que me refiero es, necesito
romper con esa idea en nuestra mente que es muy fuerte, es muy fuerte.
Esa idea de que los números se ponen como puntos que están uno detrás de otro.
Eso you es algo que debemos de trascender.
Esto es enumerable, y los números reales no lo son.
Entonces you habíamos hablado de esas clase de infinitos.
Un infinito muy distinto entre los racionales, que es igual al de los
enteros, con respecto al de los números reales.
Entonces aquí hay muchas incógnitas que tienen que ver con la naturaleza de la
matemática. Que hacen las cosas un tanto complicadas
desde el punto de vista cognitivo, pero que necesitamos tener presentes para
poder entender bien a bien lo que queremos transmitir con una velocidad que
está variando. Entonces más que definir ahorita una
velocidad instantánea, o sea en un instante, yo quisiera que fuéramos
capaces de entender que una velocidad está variando.
En este caso es una variación que responde a un cambio uniforme.
Para entender esa variación yo veo el contexto gráfico como un contexto ideal
para ello, y veo un software que realmente está diseñado para el
aprendizaje de las matemáticas, que nos va a ayudar al respecto.
you lo he usado con ustedes, si me acompañan a la computadora se los voy a
volver a mostrar. Antes de verlo quisiera pasar a la página
del Kaput Center en la Universidad de Massachuset, en donde hemos estado
trabajando con el equipo de ellos. Tenemos por eso su software en
funcionamiento aquí en el Campus Monterrey, y podemos trabajar en un
personaje que you les mostramos, el chico que camina aquí por el Campus Tec, el de
Campus Monterrey, pero es importante que ustedes vean, puedan navegar por esa
página, van a ver que pueden descargar el software por un tiempo determinado, y
quería que vieran que existen este tipo de recursos.
Existen este tipo de recursos en donde tenemos un software que está, digamos,
desde sus orígenes diseñado para el aprender matemáticas.
El doctor James Kaput; que en paz descanse, tuvo una idea, a mi forma de
ver y de muchos, una idea genial en cuanto poner a nuestra disposición esta
herramienta, este recurso que ahora yo utilizaré con ustedes a favor de hacerles
entender lo que es una velocidad que está variando.
Ahorita variando uniforme mente. Entonces si ahorita vemos esta
presentación con el software you con nuestro personaje.
Vean ustedes ahorita que tengo una velocidad que es cero y acá la posición
también se mantiene en cero, cuando uno piensa en el software en este sentido,
uno puede estar pensando: el monito no va a poder caminar, este chico Tec irá
haciendo el esfuerzo y el esfuerzo pero nunca va a llegar a su objetivo.
Si ahorita acciono el software, interactuo con el software, voy a poder
movérselos de esta manera. Entonces puedo decirles en este caso
estoy provocando que el objeto o bueno, nuestro personaje camine digamos a razón
de dos metros por segundo y ahí veríamos esta simulación del movimiento.
Ahí va con una velocidad constante, aún y cuando en un principio lo vimos en una
foto cuando venía pasando, porque recuerden que siempre que mantengamos una
velocidad constante, habremos de estar considerando movimientos que vienen desde
menos infinito hasta más infinito, y ahorita lo pescamos digamos aquí, lo
estoy pescando a nuestro chico en una foto en el momento en el que estaba
pasando por este origen de la recta en la que se está moviendo.
Entonces si ahorita recuerdan nuestra imagen de lo que dibujamos acá, no sé si
la pudiéramos ver, aquí hay una diferencia con respecto a esta imagen
¿por qué? Porque si tengo esta recta pero esta
recta es velocidad, entonces nuestra mente puede estar haciendo una asociación
entre esta recta y la recta que tenemos ahora en el software.
Vamonos al software. En el software la recta que estamos
viendo aquí v de t igual a dos t. Ésta es la que estaba dibujada allá, pero
aquí es una posición porque la velocidad es constante.
Entonces, lo que voy a hacer ahora es permitirme variar un menos tiempo, hacer
que el tiempo sean solamente cinco segundos, y editar trayéndome un segmento
más de tiempo que varía hasta los diez segundos, y diciendo que el personaje
ahora camine a una velocidad de cuatro metros por segundo.
Fíjense ahorita lo que pasó con la posición.
El software como les digo, que está diseñado precisamente para este
aprendizaje, tiene internamente la infraestructura necesaria para que aquí
el gráfico de esta segmento de recta obedezca a esta velocidad, y este otro
gráfico, este segmento de recta obedece a este otro dato de velocidad.
Si yo veo al personaje ahorita caminando, entonces lo que tendríamos es una
variación ahorita; va a esa velocidad constante y después abruptamente hay un
cambio en la velocidad. Va a ser una cambio en la velocidad, que
ahora es mayor. Bueno, este cambio de la velocidad
matemáticamente tiene un cierto significado, aquí hay un rompimiento en
el gráfico que es, que es lo que se llama la continuidad, más sin embargo, la idea
sería de que nosotros fuésemos capaces de considerar esos rompimientos de la
velocidad y pensar en que pudiéramos considerar una variación de tiempo cada
vez menor. Por ejemplo ahorita teníamos, digamos
todo el tiempo de diez segundos, vamos pensando en que el personaje varíe su
velocidad cada segundo, pero la varíe de tal manera que sea constante, el
siguiente dato y el siguiente dato sea constante.
Entonces aquí pondríamos; vamos a dejarlo que en el primer instante en el primer
segundo, que es un intervalo de un segundo de tiempo, varíe bueno, no varíe,
que quede en cero y pensemos que en un segundo de los uno a los dos segundos con
todos los instantes que hay entre ellos dos, que la variación sea por decir uno.
Que la velocidad sea uno, y luego agreguemos un dato mas, vamos a agregar
un dato más y que en este segundo la velocidad sea de dos metros por segundo.
Vean ustedes, yo estoy modificando aquí en el software y vean ustedes lo que está
pasando acá en la posición. Voy a agregar un segmento mas de manera
que de los tres a los cuatro segundos camine a una velocidad de tres metros por
segundo, y otro segmento para que de los cuatro a los cinco segundos camine con
esa velocidad de cuatro metros por segundo, y otro más para que de cinco a
seis, you saben lo que estoy haciendo, o sea, realmente bueno.
Hasta es divertido estar subiendo estos segmentitos; a uno que le gustan estas
cosas. Aquí tenemos de los ocho a los nueve
segundos y finalmente de los nueve a los diez segundos vamos para acá.
Hice una organización de una velocidad que va a estar constante por intervalos.
Cada intervalo de un segundo, la velocidad va a estar constante pero a la
vez por segundo va a cambiar. Cuando yo observo acá el gráfico de la
posición vean ustedes el aspecto de este gráfico.
Esto es una poligonal. O sea se están haciendo segmentos de
recta que se están uniendo, y si yo pongo ahorita accionar a nuestro personaje,
vamos a ver que ese cambio abrupto de la velocidad you casi no es tan perceptible
cuando vemos el objeto caminando. ¿Okey?
Al verlo caminando allí you se nota cierta naturalidad en su paso una cierta
naturalidad que a lo mejor es más que la anterior cuando solamente hice dos
intervalos de tiempo para la variación. Entonces si pensamos de esta manera
tendríamos nosotros que nuestro personaje está obedeciendo a un movimiento que es
uniforme por intervalos. O sea, en este momento si me permiten, me
gustaría que termináramos haciendo una imagen de esto y bautizando a este
movimiento que estamos ahorita considerando.
Vamos a bautizarlo como un movimiento uniforme por intervalos, y los invito a
que de ahora en adelante cuando hablemos de este movimiento uniforme por
intervalos, nos ayudemos de estas letras m, u, p, i para decir, estamos ante un
"MUPI". Esto no es nada matemático, nada oficial,
nada formal, es una manera de estar interactuando con ustedes, tratando de
que las cosas nos sean familiares. O sea, un movimiento MUPI va a ser un
movimiento en donde nuestra velocidad va a variar, ciertamente, pero se va a
mantener constante por intervalos. Vean ustedes como ese aspecto de la curva
que tengo acá, ésta la gráfica de la posición you ahorita a simple vista se
observa con cierta digamos, suavidad. O sea ¿qué quiere decir suavidad?, este
tipo de cambios que están aquí donde se hizo la unión de dos segmentos de recta,
ese piquito que está allí es algo que en cálculo tiene que ver con lo que es
derivable o no derivable, pero ahorita lo que yo quiero transmitirles, más bien es
que a medida que considero un MUPI, puedo observar como en el gráfico de la
posición you se observa casi una cierta suavidad.
Una cierta suavidad que estoy tentada a hacerla más evidente ¿cómo?
provocando que los intervalos de tiempo que consideré sean cada vez más pequeños.
En la siguiente presentación intentaremos hacer esto utilizando el software.
Entonces los invito para la siguiente presentación.
Ahorita solamente dejamos nuestra definición, entre comillas, de lo que es
un movimiento uniforme por intervalos.
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