你好,前几次呢我们讲了逻辑数学悖论
这一次呢,从这一次开始吧
我们讲对逻辑数学悖论的 几种解决办法。
一种呢就是罗素本人提出来的类型论 还有呢就是公理集合论的办法。
好我们先讲罗素的类型论
罗素,你看啊,这里有他的一画像,呃,有他的一个画像
他头上戴了一顶帽子,请大家注意,你看,他头上戴了一顶帽子。
这帽子上呢 就是一罗素悖论。
你看啊,有这样一个集合 有这样一个类,它的元素条件就是
由这样的类 x 组成, x 呢它必须
不是自己本身的类,呃,不是自 不属于
x 本身,那现在问,呃,这个
罗素集罗素类,它是不是属于罗素集罗素类呀? 呃,这就是罗素悖论。
罗素呢 在他的传记里面曾经这样写道
有三股简单而又无比强烈的激情支配了我的一生
对于知识的追求,对于爱的渴望 以及对于苦难难以遏制的同情心
这确实是罗素的夫子之道
也诠释了,以某种方式了刻画了罗素的一生
他对知识的追求,他在许多知识领域里面 做出了非常重要的贡献,首先是在逻辑领域里面
他一生呢涉及的领域非常的宽广 呃,逻辑、
哲学、 法律、 教育学 伦理学,这个世界政治
呃,等等等等,他一生写了 70 多本书 呃,对于爱的渴望,嗯
那一生和很多不同的女性,have some
affairs 有很多瓜葛,前后结过四次婚,呃
对于人类苦难有难以遏制的同情心,而且是 参与政治和活动,参与各种
政治活动,还因为参与政治活动坐过两次牢 呃,与爱因斯坦一起发起
反核运动,呃反核运动等等。
他在每一个 他是一个巨人型的人物,他在很多领域有很重要的贡献并且很全面,还得过诺贝尔奖
诺贝尔文学奖。
好,我们现在谈他本人 对罗素悖论以及其他逻辑数学悖论的解决办法
在发现"罗素悖论"之后,罗素本人也在探索 解决悖论的途径和方法。
在不同时期呢曾提出不同的尝试性方案 呃,有曲折理论、
限制大小理论、 无类或非集合理论等等 在 1908
年发表的《以类型论为基础的数理逻辑》一文中 他回到了他先前提出过的类型论
并在他与怀特海合著的三大卷《数学原理》中做了详细阐述
这类型论可以说是 罗素关于
悖论的标准理论,官方理论,正式理论
好,它分两个方面吧 一个是对悖论产生原因的哲学分析
他归咎于,他提,由此他提出一个恶性循环原则 罗素指出,他分析了很多悖论,呃
很多的逻辑数学悖论,还包括语义学悖论,呃 在上述所有的矛盾中,有一个共同的特点
我们可以将此特点描述为自我指称或自返性
如果所有的类——只要它们不是自身的元素 都是
w 的元素,这一点也必定适用于
w 与此类似的关系矛盾也有同样的道理……在每个矛盾里
都是对一类情形的所有事例说话,而从所说的话中
又产生了新的情况,又产生了新的情况
当所有的事例与说出的话有联系的时候,这新的情况既属于
又不属于这一类事例,产生矛盾
呃,他还具体分析了很多悖论,以应证了 他的上述观点。
那他分析,强化的说谎者悖论,就是我在说谎
呃,这句话呢,里面有这个这个这个这个恶性循环
存在一个我正肯定的命题,而这个命题是假的 而这又等值于下面的命题:这对所有这样的命题
都不是真的,如果我肯定 p,则 p
是真的 呃,他说这个里面呢有他所说的那种情况
罗素指出:这个悖论呢源于将这个陈述
作肯,视作肯定的一个命题 因此这个命题必定进入这个陈述的范围。
而从这一点可以看出 "所有的命题"这个概念不合理,因为
否则必须有一些(有如上述的)命题,它们论及所有的命题,但是它们又不能无矛盾地包含在
它们所论及的那些命题之中。
不论我们假定的命题总体是什么 关于这一总体的陈述范围同样在扩大,因此必定不存在命题的总体
而"所有的命题",呃 是一个无意义的短语,无意义的短语。
这是这一个 在他自己说的
不以自身为类的类所构成的类,这个罗素悖论中 类
w 通过涉及"所有的类"而定义 结果又成了这些类中的一个
他指出:不存在这样一个类这一点来自于以下事实:如果我们假定存在这样一个类
这个假定立即(正如上述的矛盾一样)导致新的
产生新的类,这些类呢处在所假定的所有的类的整体之外
呃,在贝里悖论中
不可用少于十九个音节命名的 最小整数。
这个呢,他是用英语表示的 呃,用英语表示的。
这个呢,牵涉到 名称的总体,因为它是这样的最小整数
所有的名称或者适用或者不适用于它,或者有多于十九个的音节
因而,所有名称是一个不合理的概念。
你看啊 这个贝里悖论我们下面马上要讲的。
不可少,用少于十九个音节命名的最小整数 这个那个,那是英语。
那里面呢 它本身就
这个这个少于十九个音节,但他呢就命名了这个东西 这就是矛盾,嗯。
对其他的悖论呢 的分析呢与上面的相似,呃
就是所有这些悖论里面,我们回到前面呢 都有他所说的,就是有一个共同特点
我们可以将此特点描述为,自我指称或自返性。
所有这样的类 只要它们不是自身的元素——都是 w 的元素,这一点也必定适用于
w 呃,在每个矛盾里都有对一类情形的所有事例说话,而
从所说的话中又产生了新的情况,当所有的事例与所说的话有联系的时候
这新的情况既属于又不属于这样的事例,他认为呢
这是这种悖论的共同特点,在某种意义上呢,也是它产生的根源
所以他由此做出结论 罗素由此做出结论:因此,所有
的矛盾都共同有这样一个关于总体的假定
如果它合理,它立即就由它自身所定义的元素而扩大
你看啊,我们说所有的集合的集合
所有的集合的集合,它是由所有集合所构成的集合
当把这个集合构成以后,所有集合的集合也是一个集合,所以它又要
到这个集合里面去,呃,这个集合里面 去,所以呢,他那个那个那个不断地
它立即就由它自身所定义的元素而扩大。
这是我们 这个罗素说了,这使我们得出以下规则
凡涉及一个集合的全部元素者,它一定不是这一集合的一个元素
呃,你看啊,所有集合的集合
呃,他他……他说,应该是包由 先前已经构成了的所有集合的集合构成
那你不能由所有的集合的集合也是一集合,又搁到它里面去,那不行
那所以,他说,凡涉及一个集合的全部元素者,它一定不是这一集合的元素;或者相反
如果假定某个集合有一个总体,则这个总体有由这个总体唯一可定义的元素
那么所说的集合就没有总体 这是一个,从正面说从反面说。
这个原则呢 在《数学原理》中,罗素以更明确的方式说
使我们能够避免不合法总体的那个原则 可陈述如下:反牵涉到一个汇集的全体者
它本身不能是该汇集的一个分子。
或者,反过来说,如果假定某一个汇集有一个总体
它将含有一些只能用这个总体来定义的分子,那么 这个呢就没有总体。
我们把上述原则叫做"恶性循环原则" 但实际上叫做,应该叫做禁止"恶性循环"
呃,禁止"恶性循环原则",因为它能使我们避免 那些由假定不合法的总体而产生的恶性循环
所有命题在它成为一个合法的总体之前 必须以某种方式加以限制,并且任何使它
合法的限制呢,必须是关于总体的陈述 不属于这个总体的范围之内。
呃,这是 罗素呢对 悖论产生原因的哲学分析。
你看啊,正如罗素所说 如上所述的(禁止)"恶性循环原则",在其范围呢是纯粹否定的
它足以表明许多理论是错误的,但是它不能说明怎样纠正这些错误
于是,罗素呢提出了基于这一原则之上的
建设性方案,这就是类型论,类型论。
好,这一讲到这里