[ЗАСТАВКА] Мы доказали
хорошее утверждение, но этого недостаточно для того чтобы доказать,
что f (ek + 1) + f (ek+2) … f (en)
образуют базис образа линейного отображения.
Потому что мы доказали просто, что любой вектор является линейной комбинацией таких
векторов, но не доказали, что такое представление единственно.
Не значит… Пока нет единственности, мы не доказали, что мы получим базис.
Хорошо.
Давайте попробуем доказать единственность.
А вернее, давайте предположим, что найдется вектор,
принадлежащий образу линейного отображения,
который не единственным образом представим в виде линейной комбинации этих векторов.
У него существует два разных представления.
Что значит два разных представления?
Конечно, некоторые коэффициенты в этих представлениях могут совпадать,
но нет такого, что совпадают все коэффициенты.
Вот смотрите, есть такое представление, что m = a(k +
1) * f (ek + 1) + a(k + 2) * f (ek + 2) и так далее,
и есть другое представление, там, где a, коэффициенты a, заменены на b.
b(k + 1) * f (ek + 1) и так далее.
И хотя бы какие-то из этих коэффициентов не совпадают.
Может быть один коэффициент, может быть два, но нет
такого, что все ai = bj, нет.
Хоть где-то эти представления отличаются.
Хорошо.
Что значит, эти два вектора равны?
Ну мы вектор m представили двумя разными способами, то есть у нас записано два
разных… Два равных вектора по разному представлены.
Давайте вычтем из одного представления вектора m другое представление вектора m.
Мы, конечно, получим 0.
Потому что мы вычитаем из вектора m вектор m, конечно получается 0.
Но как это будет записано в нашем предполагаемом базисе?
Ну или не базисе, если нам это не удастся доказать.
У нас получилась такая линейная комбинация — (ak + 1 – bk
+ 1) * f (ek + 1) + (ak +
2 – bk + 2) * f (ek + 2) и так далее,
и в конце будет (an – bn) * f (en).
Вот такая линейная комбинация векторов равна 0.
Смотрите, если это был базис,
никакая линейная комбинация нетривиальная базисных векторов не может быть равна 0.
Мы хотим доказать, что она не может быть равна 0.
Мы доказываем, что это базис… В точности и значит, что мы доказываем,
что представление единственно.
Ну и что плохого, что такая линейная комбинация получилась равна 0?
Давайте опять… Что мы можем, собственно, сделать?
Мы ничего не можем сделать.
Вот у нас написано какое-то равенство.
Мы так мало знаем про эти коэффициенты, фактически ничего.
Мы фактически ничего не знаем про векторы e, кроме того, что они образуют базис.
Но мы, слава Богу, знаем, что f — это линейное отображение.
Давайте воспользуемся линейностью отображения f и внесем вот эти
коэффициенты внутрь f, то есть воспользуемся тем, что λf (x) = f (λx).
Смотрите, в нашем случае числовой коэффициент несколько сложнее,
это разность двух чисел, но это ничего не меняет, это такое число и такая сумма.
f ((ak + 1 – bk + 1) * на
вектор (ek + 1)) + f ((ak + 2 – bk +
2) * (ek + 2)), вот сумма f от таких векторов будет равна 0.
Хорошо.
Еще раз воспользуемся линейностью.
У нас сейчас в левой части равенства написана сумма векторов,
лежащих в образе линейного отображения f.
f от одного вектора + f от другого вектора + f от третьего вектора.
Давайте воспользуемся тем, что линейное отображение от
суммы равно сумме линейных отображений от векторов.
Итак, f (x + y) = f (x) + f (y).
Итак, f мы получаем в левой части,
f ((ak + 1) – (bk + 1)) * (ek + 1) + ((ak
+ 2) – (bk + 2)) * (ek + 2) и так далее.
Мы получаем, что f от всей этой большой линейной комбинации равно 0.
Мы воспользовались два раза линейностью… Линейного отображения f.
Что это значит?
Смотрите.
Мы получили, что f от какого-то вектора равно 0.
Это в точности значит, что этот вектор лежит в ядре отображения f.
Это определение ядра отображения.
Ядро состоит из тех векторов, которые при линейном отображении f переходят в 0.
Что же получается?
Мы знаем, какой базис в ядре отображения.
Мы когда выбирали базис пространства L, мы начали с того,
что первые k векторов образуют базис ядра отображения.
Если какой-то вектор, а в нашем случае вот эта сложная линейная комбинация
лежит в ядре отображения f — это значит, что этот вектор единственным образом
представляется, как линейная комбинация векторов e1 … ek.
Смотрите, что мы получили.
Мы получили, что один и тот же вектор двумя разными способами представлен
в виде линейной комбинации базисных векторов пространства L.
Слева, в представлении слева, стоят базисные векторы только с номерами
большими, чем k, а в линейной комбинации справа стоят базисные векторы только
с линейной комбинацией не больше чем с… Только с номерами не больше чем k.
Так не может быть.
Не может быть, иначе это был не базис.
Базис… Любой вектор выражается через линейную
комбинацию базисных векторов единственным способом, а не двумя разными способами.
Не бывает никаких двух разных способов.
Что это может значить?
Это может значить только одну вещь, что все,
все, все коэффициенты, которые здесь присутствуют, равны 0.
Что 0 = 0, мы получили две нулевые линейные комбинации.
Иначе никак так не может быть.
Иначе мы получаем не нулевой вектор,
который представлен двумя разными способами.
Что это значит?
Это в точности значит, что все ai совпадают со всеми bi.
Иначе в левой части мы никак не получим нулевой вектор.
Мы получили то, что хотели.
Мы предположили, что есть два разных представления вектора из образа
линейного отображения f в виде линейной комбинации базисных векторов.
Мы получили — нет, никаких двух разных не бывает, бывает только одно единственное.
Эти два разных, на самом деле совпадают.
Итак, мы доказали, что набор векторов
f (ek + 1), f (ek + 2) и так далее,
являются базисом образа линейного отображения f.
На самом деле теорема доказана.
Давайте посчитаем, что именно мы доказали.
Посмотрим, о каких размерностях шла речь в теореме.
Что такое k?
k — это количество векторов в базисе ядра линейного отображения.
Помните, векторы e1 … ek образуют базис ядра линейного отображения f.
Хорошо.
Что такое n?
n — это как раз размерность пространства L.
У нас векторы e1 … ek, ek + 1 и так далее до n,
все эти векторы вместе образуют базис линейного пространства L.
Хорошо.
Значит, n — это размерность пространства L.
Осталось только определиться с тем, что такое размерность образа отображения f.
Помните, какой базис у образа линейного отображения f?
Базис образа линейного отображения f — это набор векторов
f (ek + 1), f (ek + 2) … f (en).
Я хочу сказать, что в этом базисе ровно n – k векторов.
Мы начали с вектора k + 1 и дошли до вектора с номером n — это значит,
что мы перечислили ровно n – k векторов.
Теорема-то доказана.
Мы доказали, что фактически наше утверждение о том,
что размерность пространства L равна размерности пространства…
Ядро отображения f плюс образ отображения f доказано.
Именно вот этим несложным утверждением,
что размерность образа отображения f = n – k, мы и доказали теорему.
Наша теорема свелась к равенству n = k + n – k.
Ну что же, это верно.
Итак, теорема доказана.
Мы доказали это утверждение, которое хотели доказать.
Давайте подумаем теперь немножко не над самим утверждением теоремы.
Мы его доказали — все в порядке.
Давайте подумаем над самим доказательством.
Что такое мы делали в процессе доказательства теоремы?
Смотрите, о чем говорит доказательство теоремы?
Когда мы доказывали теорему,
мы в процессе доказательства выбирали некоторый базис, такой как мы хотели.
У каждого пространства есть много базисов.
А мы выбрали какой-то базис, удобный нам для доказательства.
Это значит, что каким базисом удобно пользоваться в данной ситуации,
зависит от самой ситуации.
Не зависит глобально от каких-то вот… Всегда,
навсегда есть один самый удобный базис.
Нет, это вовсе не так.
Для каждой конкретной ситуации бывают удобные разные базисы.
Для одной ситуации такой базис, для другой ситуации другой базис.
Это все хорошо, только непонятно, как быть,
если мы будем рассматривать координаты векторов то в одном базисе, то в другом.
Как они связаны между собой, координаты в разных базисах?
Мы как раз и научимся сейчас находить координаты векторов в
одном базисе по координатам вектора в другом базисе, если мы знаем,
как эти базисы между собой связаны.
[ЗАСТАВКА]