[MÚSICA] [MÚSICA] Vamos a hablar ahora acerca de uno de los temas más importantes de las matemáticas en la educación media, se trata de la regla de tres. Si algún alumno sale de secundaria sabiendo regla de tres, ya valió la pena. Vamos a empezar a ver qué son las cantidades directamente proporcionales. Hay muchas situaciones cotidianas en las que una variable depende de otra de manera lineal, vamos a ver unos ejemplos. Si tenemos cuadernos y tenemos el precio de cada cuaderno, entonces el importe que pagamos cuando compramos cierta cantidad de cuadernos, todos al mismo precio se obtiene multiplicando el precio por el número de cuadernos. En general el importe se obtiene multiplicando el precio unitario por el número de artículos que se compran. Otro ejemplo, tenemos un automóvil que va en una carretera a una velocidad constante, y si multiplicamos el tiempo transcurrido por la velocidad, obtenemos la distancia recorrida. Tenemos por ejemplo una maquinaria que realiza un cierto trabajo, y entonces sabemos cuanto trabajo puede realizar en una hora. Por ejemplo una impresora, cuántas hojas puede imprimir por hora, o un telar cuántos metros de tela puede producir por hora, o un tractor cuántas hectáreas puede arar por hora. Entonces si multiplicamos ese trabajo realizado por hora, por el número de horas trabajadas, obtenemos el trabajo total. Tenemos artículos en los cuales sabemos cuánto pesa cada uno, si multiplicamos el número de artículos que tenemos por el peso que tiene cada uno, obtenemos el peso total. En todas estas situaciones tenemos una variable y que se obtiene al multiplicar una variable x por la constante. En estos ejemplos la variable y es el importe, o la distancia recorrida, o el trabajo, o el peso total. La constante es el precio unitario, o la velocidad del automóvil, o el trabajo realizado por la maquinaria, o el peso del artículo. Y la variable x representa el número de artículos, o el número de horas trabajadas, o el tiempo transcurrido, que son las variables que están acá del lado derecho. Cuando tenemos una situación así en la que una variable se obtiene a partir de otra multiplicada por una constante, decimos que esa variable es directamente proporcional a la otra, en este caso y es directamente proporcional a x. Entonces por ejemplo, el importe es directamente proporcional al número de artículos, o la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo transcurrido, etcétera. Esta es una interpretación geométrica de lo que significa la regla de tres. Recuerden que vimos, en un video anterior, que las ecuaciones lineales y igual a ax más b se pueden representar mediante una recta. Bueno, y en el caso partícular en el que b sea cero obtenemos simplemente y igual a ax, es más voy a llamarle en vez de a, voy a escribir k como le hicimos en la lámina anterior. Entonces y igual a kx está representada mediante una recta que pasa por el origen. La mayoría de los casos en estos ejemplos que vimos, las variables tienen sentido cuando son positivas, el número de artículos, el tiempo, las horas y los importes, las distancias recorridas, etcetera. Aunque podría haber casos en los cuales las variables también tuvieran sentido que fueran negativas. Pero vamos a concentrarnos en el caso positivo, es decir solamente vamos a pensar en la semi recta a partir del 0. Si regresamos al primer ejemplo, el importe es igual al precio unitario por el número de artículos, podemos pensar que aquí están el número de artículos y aquí está el importe, digamos en dólares. Por ejemplo si tenemos cuadernos, aquí este triangulito me dice que tres cuadernos cuestan seis dólares, o siete cuadernos cuestan 14 dólares. Bueno observemos aquí que tenemos dos triángulos iluminados, uno en verde oscuro y otro en verde claro, estos dos triángulos son semejantes y observamos que si dividimos este cateto 3 entre 6, se obtiene el mismo resultado que si se divide este cateto entre este otro, 7 entre 14. Y esto se debe que si yo tengo triángulos semejantes, estos dos triángulos son semejantes, la división de uno de los lados del triángulo chico entre otro de los lados, es igual a la división de el lado correspondiente del triángulo grande entre el otro lado correspondiente del triángulo grande. Así 3 entre 6 es lo mismo que 7 entre 14. [AUDIO_EN_BLANCO] Cuando tenemos una igualdad de fracciones como la que acabamos de ver se llama una proporción, teníamos aca 3 sextos es igual a 7 catorceavos. Entonces en general tenemos a entre b es igual a c entre d. Bueno, pero fíjense que en esta igualdad yo puedo multiplicar todo por d y todo por b y obtener esta igualdad de productos, a por d es igual a b por c. Si nos fijamos en donde están colocadas estas letras a por d es esta diagonal y b por c es igual a esta diagonal. Es decir, en una proporción el producto de las diagonales es igual. Y la idea de la regla de tres es que hay veces que conocemos tres de estos valores y necesitamos conocer el cuarto. Por ejemplo digamos en este caso, yo se que tres cuadernos cuestan 6 dólares, y quiero saber cuánto cuestan 5 cuadernos, o sea quiero averiguar para este cateto igual a 5, a qué altura corta a la recta, que en este caso es el 10. Entonces cómo puedo obtener a partir del 5, este 10. Así que si desconocemos una de las variables, por ejemplo d pues puedo despejarla de esta expresión d es igual a b por c entre a. Y si nos fijamos nuevamente en como están colocados estos números en esta igualdad, vemos que para encontrar a d, lo que hicimos fue multiplicar la diagonal b por c y dividirla entre el número que está en la misma diagonal que d. Es decir entre a, así que es, y es una regla que es muy fácil de recordar. Si la que desconozco es b por ejemplo pues cómo obtengo b, pues multiplicando a por d, y dividiendo entre c. Hay otra manera de escribir estas proporciones, que puede ser un poco más fácil de recordar y Más fácil de entender. Por ejemplo, regresemos al caso de los cuadernos. En el caso de los cuadernos, tengo los cuadernos en el eje de las X y el importe en el eje de las Y. Entonces, voy a hacer dos columnas. En una voy a poner las variables que corresponden al eje de las X, y en la otra, las variables que corresponden en el eje de las Y. Y aquí voy a decir, que a cuadernos cuestan b dólares, entonces, c cuadernos cuestan d dólares. En el caso general, tengo a cuadernos cuestan b dólares, entonces, c cuadernos cuestan d dólares, a entre b es igual a c entre d. Y lo leemos así. Si a cuadernos cuestan b dólares, c cuadernos cuestan d dólares. Nuevamente, si desconozco cualquiera de las variables, la voy a obtener multiplicando la diagonal y dividiéndola entre el elemento que está en la misma diagonal que d, b por c entre a. Esta notación tiene la ventaja de que ordenadamente ponemos de un lado un tipo de unidad y del otro, otro tipo de unidad. Entonces, vamos a resolver algunos ejemplos. Tengo, un carpintero hace 6 sillas y las vende en 4350 pesos. ¿Cuánto costarán 9 sillas? o ¿en cuánto venderían 9 sillas? Bueno, pues planteamos la ecuación 6 entre 4350 es igual a 9 entre x. O bien, usando la otra notación, poniendo en una columna las sillas y en la otra columna los importes, y leemos 6 sillas cuestan 4350 pesos, ¿9 sillas cuánto cuestan? Tenemos, 9 por 4350 entre 6, me da 6525. Asi que las 9 sillas costarían 6525. Otro ejemplo, si con 210 pesos se pueden comprar 7 kilos de mango. ¿Cuántos kilos de mango se pueden comprar con 285 pesos? Pensamos otra vez en hacer dos columnas. Los kilos de mango y el precio. Tenemos 7 kilos de mango cuestan 210 pesos y no sabemos qué cantidad de mangos cuestan 285 pesos. Para saber cuántos kilos de mango cuestan 285 pesos despejamos la x que se obtiene multiplicando la diagonal y dividiéndola entre el elemento opuesto. Tengo 7 por 285 entre 210. Aquí podemos simplificar. Esto tiene séptima y aquí me quedan 30, esto tiene tercera, esto tiene tercera, me queda 9 de 15, 5. Y entonces, 95 entre 10 son 9.5. ¿Qué es esta x? ¿9.5 qué? Kilos de mango. Entonces, se pueden comprar 9.5 kilogramos de mango con 285 pesos. ¿Está claro? Uno más. Tenemos que, Ricardo recorre en su bicicleta 48 kilómetros y tarda 3 horas a velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 2 horas a esa misma velocidad? Observen que a más horas, más kilómetros. Entonces, vamos a poner los kilómetros por un lado, y las horas por otro. Y entonces, tengo que Ricardo recorre 48 kilómetros en 3 horas. Y queremos saber cuántos kilómetros recorre en 2 horas. Nuevamente, despejamos x es igual el producto de la diagonal entre lo opuesto. 48 por 2 entre 3. Esto tiene tercera. 1 tercera 16, 16 por 2 son 32. Es decir, recorre 32 kilómetros en 2 horas. Bueno, entonces recuerden practicar, hacer ejercicios. Esta es una de las herramientas más útiles de las matemáticas de nivel intermedio. [MÚSICA] [MÚSICA]
