[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] Entonces como quedamos la última vez, lo que queremos hacer ahora es extender la definición de exponente para números enteros negativos o 0, ya sabemos que si n es un número natural, 1, 2, 3, 4, lo que significa a a la n es a por a por a por a n veces y lo que queremos hacer ahora es definir cuánto vale a la 0, algo así como decir este a 0 veces y cuánto vale a a la menos n, o sea cuánto vale a a la menos 1, a la menos 2, a la menos 3, etcétera Entonces vamos a empezar con a a la 0 y vamos a ver un ejemplo concreto. Vamos a considerar que a vale 2, n vale 0 y m vale 3. Entonces me pregunto cuánto debe vale a a la 0 para que siga valiendo la regla de los exponentes que me dice que a a la n por a a la m es lo mismo que a a la n + m. Entonces vamos a calcular el lado izquierdo y el lado derecho por separado. Entonces el lado izquierdo pues es 2 a la 0 por 2 al cubo, es decir 2 a la 0 por 8 y el lado derecho tengo 2 a la 0 + 3, pero 0 + 3 es 3 y 2 al cubo es 8. Entonces quiero ver cuánto debe valer 2 a la 0 para que 2 a la 0 por 8 sea igual a 8. Y claramente el único número que satisface que algo por 8 sea 8 pues es que ese algo valga 1 y entonces pues voy a definir como 2 a la 0, lo voy a definir como 1. Bueno esto que hice es para el caso concreto de a igual a 2 y m igual a 3 se puede hacer en general y entonces lo que voy a hacer es definir para cualquier número a distinto de 0 voy a definir a a la 0 igual a 1. Después vamos a ver que 0 tiene una complicación adicional por lo que 0 a la 0 no lo voy a definir. Entonces unos ejemplos, por ejemplo 5 a la 0 vale 1, 1000000 a la 0, no importa qué tan grande sea lo que tenga aquí abajo 1000000 a la 0 es 1. Una fracción 3 cuartos a la 0 es 1. Nada más me acuerdo entonces que 0 a la 0 no está definido, sí. Bueno y ahora vamos a hacer algo similar, vamos a ver cuánto debería valer a a la menos 1, a a la menos 2, a a la menos 3, etcétera para que siga valiendo esta regla de los exponentes. Vamos entonces a ver un ejemplo numérico primero. Vamos a considerar que a vale 3, n vale menos 2 y m vale 2. Yo quiero ver cuánto debería valer 3 a la menos 2 para que 3 al cuadrado por 3 a la menos 2 valga 3 a la 2 menos 2. Si calculamos el lado derecho vemos simplemente que tengo 3 a la 3 menos 2, es 3 a la 0 y 3 a la 0 lo acabo de definir como 1. Así que quiero buscar cuánto debe valer 3 a la menos 2 para que 3 al cuadrado por 3 a la menos 2 sea 1. Bueno pero esto es exactamente la definición del inverso multiplicativo de 3 al cuadrado, es decir 3 a la menos 2 debe ser el inverso multiplicativo de 3 al cuadrado. Es decir 3 a la menos 2 es lo mismo que 1 sobre 3 al cuadrado o como dice aquí si dividimos entre 3 al cuadrado ambos lados obtenemos que 3 a la menos 2 es lo mismo que 1 sobre 3 al cuadrado. Entonces en general lo que voy a hacer para cualquier a diferente de 0 voy a definir a a la menos n como 1 sobre a a la n. En particular si la n vale 1 pues aquí tengo a a la menos 1. Y según esta regla a a la menos 1 pues es lo mismo que 1 entre a porque es el inverso multiplicativo, el inverso multiplicativo de a. Entonces realmente podemos pensar en esto pues como dos maneras de escribir al inverso multiplicativo de a como a a la menos 1 o como 1 sobre a. Unos ejemplos. Unos ejemplos, cuánto vale 5 a la menos 1, pues 1 sobre 5. 4 a la menos 7 es 1 sobre 4 a la 7. Recordamos 0 a la menos 3 no está definido porque si aplicáramos la regla me quedaría como 1 sobre 0 al cubo que es 1 sobre 0 que no está definido es por eso que no se define elevado a un exponente negativo. Si tengo una fracción, 3 cuartos a la menos 1, pondría 1 sobre 3 cuartos pero 1 sobre 3 cuartos es lo mismo que 4 tercios, es decir aquí vemos que cuando tengo una fracción a la menos 1 lo que hacemos es intercambiar el numerador y el denominador. Vamos a ver finalmente una ley sobre los exponentes que nos permite simplificar fracciones para escribirlas en su mínima expresión. Entonces vamos a empezar con un ejemplo, por ejemplo si yo quiero simplificar 2 a la quinta entre 2 al cuadrado pues observo a pie que 2 a la quinta pues es tener 5 números 2 en el numerador y 2 al cuadrado pues es tener 2 2 en el denominador y entonces puedo simplificar 2 de los 2 que están aquí arriba con 2 de los 2 que están abajo y finalmente tener 2 por 2 por 2 que es 2 al cubo igual a 8. Si nos fijamos en los exponentes observamos que el 5 de aquí el 2 de acá me los resto me dan el 3 del lado derecho, 5 menos 2 es 3. En general entonces cuando tengo a a la n entre a a la m, la regla es que este cociente se simplifica como a a la n menos m, el número, el exponente del numerador menos el exponente del denominador. Esto lo podemos probar viendo que a a la n entre a a la m pues no es más que a a la n por 1 sobre a a la m pero vimos en el video anterior que 1 sobre a la m es a la menos m y por la regla del producto a a la n por a a la menos m es lo mismo que a a la suma de los exponentes que es n menos m. [AUDIO EN BLANCO] Como les decía pues esta es la propiedad que usamos normalmente cuando queremos simplificar una fracción para escribirla en su mínima expresión. Por ejemplo si tengo 7 a la 6 entre 7 al cuadrado, pues esto es 7 a la 6 menos 2 que es igual a 7 a la 4. O si tenemos 27 entre 81 pues me fijo que 27 es 3 por 3, 9 por 3, 27 entre 3 a la cuarta, 3 al cubo entre 3 a la cuarta, si aquí restamos los exponentes me queda 3 a la 3 menos 4 que es 3 a la menos 1 que es 1 sobre 3, que coincide con lo que normalmente hacemos cuando ponemos 27 ochentayunavos y empezamos a decir tercera 9, tercera 27, tercera 3, tercera 9, tercera 1, tercera 3. Es el mismo un tercio cuando simplificamos poco a poco una fracción. Si tengo 5 al cubo entre 5 al cubo y seguimos la regla, esto es 5 al cubo entre 5 al cubo esto me da 5 a la 3 menos 3 que es 5 a la 0. Pero por otro lado si el numerador y el denominador son iguales esto vale 1 y esto es justamente la razón como vimos antes por la cual un número elevado a la 0 debe definirse como 1. Entonces 5 a la 0 por eso es 1. [MÚSICA]
