[МУЗЫКА] Здравствуйте.

Меня зовут Михаил Скворцов.

Я работаю в Сколковском институте науки и технологии и в Институте

теоретической физики имени Ландау.

И сегодня мы с вами поговорим про преобразование Фурье.

На самом деле преобразование Фурье — это такая математическая операция,

которую наш мозг выполняет ежесекундно и с которой мы постоянно сталкиваемся,

но о ней не думаем.

Вот когда сейчас вы смотрите на меня и слушаете мою речь,

у вас дважды происходит преобразование Фурье.

Во-первых, когда вы получаете звук, то давление P от t, зависящее от времени,

действует на барабанные перепонки и мозг автоматически транслирует

это в спектральное разложение и видит, какие частоты тут есть.

И то же самое происходит со светом, когда световая волна, то есть колебание

электрического поля, зависящее от времени, поступает на сетчатку вашего глаза,

рецепторы преобразуют это в частотные представления,

таким образом из трех рецепторов, как вы знаете, складывается изображение.

Так что преобразование Фурье — это то, что у нас в мозгу можно сказать прошито.

А сегодня мы поговорим о том,

как это применяется для решения разнообразных задач математической физики.

И в качестве введения я хочу начать с напоминания одной олимпиадной

задачи по физике, которая формулируется следующим образом.

Имеется бесконечная решетка сопротивлений,

фрагмент которой мы нарисуем следующим образом.

Это квадратная решетка, и сопротивление

каждого звена одинаковое и равно R.

А задача ставится следующим образом: мы берем омметр и

подключаем его к двум соседним вершинам.

И вопрос формулируется следующим образом: какое

сопротивление покажет нам омметр в этой ситуации?

Эта задачка относится к классу олимпиадных, потому что простое

решение, доступное для школьников,

существует только в том случае, если точки у нас являются соседними.

А в общем случае это задача, которая явно выходит за рамки школьной программы,

и надеюсь, что в конце сегодняшней лекции мы доберемся до общего решения.

А для начала давайте вспомним,

как решается задача в такой простейшей постановке.

Задача электростатики она линейная,

то давайте мы эту задачу разобъем на две подзадачи.

В первом случае мы возьмем и будем ток запускать в первый узел,

а собирать его на бесконечности.

Тогда он как-то будет растекаться и уходить на бесконечность.

И вот давайте мы ток I запустим в первый узел и посмотрим на

дальнейшую судьбу этого тока.

Часть пойдет наверх, эта часть есть I/4.

Точно такая же часть пойдет налево, вниз и направо.

И это понятно.

Понятно, что в каждое из направлений пойдет четверть тока.

Дальше она как-то будет распространяться, и как — это уже сложно,

потому что понятно, что вот в этом месте они поделятся неравным образом,

и как — вопрос, на который нужно искать ответ, который неочевиден.

Но нам этого и не нужно будет.

Теперь давайте мы рассмотрим вторую подзадачу.

Мы с этой точкой ничего не делаем,

а из этой точки мы будем забирать тот же самый ток I.

Ток будет течь в бесконечности,

и задача в каком-то смысле дуальная, и понятно,

что по каждому из ребер будет течь ток I/4, точно такой же ток I/4.

А теперь давайте мы сложим обе эти подзадачи,

тогда получится, что мы отсюда ток запускаем, а здесь мы его забираем,

а не бесконечность, естественно, ничего не утекает.

И если тогда посчитать, чему равно падение напряжения между двумя точками,

то мы видим, что здесь ток I/4 и здесь ток I/4.

Поэтому полное падение напряжение между истоком и током

будет U = R * ( I/4 + I/4) =

R * I/2.

Деля на полный ток, мы в результате получаем ответ на задачу:

имеется эффективное сопротивление между этой точкой и этой точкой,

и оно равно R/2.

Вот так решается эта олимпиадная задача по физике,

и олимпиадность ее в том, что нужно догадаться,

а если мы бы считали сопротивление по диагонали между двумя узлами несоседними,

тогда бы ничего не сработало, потому что нам нужно было бы знать,

как ток делится здесь, а это простыми средствами не решается.

Так формулируется эта задача, и мы к концу этой лекции увидим,

почему правильный способ решения этой задачи основан на преобразовании Фурье,

и получим общий ответ.

[МУЗЫКА]

Введение. Задача о сетке сопротивлений

Введение в математические методы физики

Rencontrer les enseignants