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On a vu, dans les cours précédents, que la seule solution élémentaire tempérée
de d rond t moins un demi de laplacien x, à support dans le futur,
est la distribution gaussienne qui est donnée par la formule, G N, si on veut G
N de t et de x, c’est l'indicatrice que t est strictement positif,
divisé par 2 pi t, à la puissance N sur 2, exponentielle de
moins norme de x au carré, divisé par 2 t. Alors,
en appliquant les résultats de la
première partie, eh bien, on aboutit au théorème d'existence
et d'unicité suivant : pour toute donnée initiale,
f in, qui est une distribution à support compact sur R N, et pour toute
distribution source, grand S, à support compact dans R plus étoile croix R N,
eh bien, l'unique solution tempérée du problème
de Cauchy ci-dessus, pour l'équation de la
chaleur, est donné par la formule f
égal le produit de convolution de la distribution
G N, par Dirac en zéro tens f in, plus S
point, où S point est, je le rappelle, le prolongement par zéro de la
distribution S, qui est à support compact sur R plus étoile croix R
N, prolongement par zéro de S à R croix R N, tout entier.
Alors, vérifions, rapidement, la démonstration
de ce théorème.
Alors, déjà, d'après le théorème 1, général, que nous avons vu dans la
première partie de ce cours, eh bien, d rond t, moins un demi de laplacien
en x, de G N, produit de convolution par Dirac en zéro, tens f in, plus S
point, c’est Dirac en t égal zéro et en x égal zéro,
convolé avec Dirac en zéro, tens f in, plus S point, et
donc, par conséquent, c’est Dirac en zéro, tens f in, plus S point.
D’autre part, eh bien, le produit de convolution
de G N par Dirac en zéro, tens f
in, plus S point, c'est le produit de convolution
de la distribution tempérée, G N, par la distribution
à support compact, Dirac en zéro, tens f in, plus S point.
Et donc, le résultat, on l'a vu dans le cours sur les distributions tempérées, le
produit de convolution d'une distribution tempérée et d'une
distribution à support compact est une distribution tempérée.
Donc, la formule obtenue dans le théorème pour la solution définit bien un élément
de S prime de R croix R N.
Et d'autre part son support, donc le support de G N convolé
avec Dirac en zéro, tens f in, plus S point, eh bien, il est
inclus dans l'addition des supports, donc c'est inclus dans le support de G
N plus le support de Dirac en zéro, tens f in, plus S point.
Et, évidemment, le support de G N, c’est R
plus croix R N, et le support de Dirac en zéro, tens
f in, plus S point est contenu dans R plus croix R N.
Et donc, l'addition des supports est contenue dans R plus croix R N.
Donc, on a bien une distribution, formule du théorème, fournit bien une distribution
qui est à support dans le futur, donc dans les temps positifs ou nuls.
Conclusion, la formule
G N étoile Dirac en zéro, tens f in, plus S
point, est bien une solution, au sens des distributions, du problème de
Cauchy pour l'équation de la chaleur, avec terme source, grand S,
et condition initiale f à t égal à zéro, égal f in.
Maintenant, il reste à montrer que c'est la seule.
Alors,
l'unicité de la solution distribution tempérée résulte de la
propriété suivante, que nous avons déjà vue, au moment où nous avons calculé
la solution élémentaire dans le futur de l’opérateur de la
chaleur et où nous avons montré l'unicité de cette solution élémentaire tempérée
à support dans le futur.
C'est le même argument, c'est le même lemme d’unicité que je rappelle ici.
Si on a une distribution tempérée sur R croix R N qui vérifie,
d'une part, que son support est dans le futur, donc le support de t est inclus
dans R plus croix R N, et d'autre part, que d rond t moins un
demi de laplacien en x de T est égal à zéro, pour tous les temps,
donc sur R croix R N, alors forcément T est nul.
C’est le lemme d’unicité pour l'équation de
la chaleur que nous avons déjà rencontré,
et qui s'applique donc, ici, pour donner
l'unicité de la solution du problème de Cauchy.
Alors, maintenant, évidemment, le théorème 2
permet de résoudre le problème de Cauchy, au sens des distributions, lorsqu'on a
des données, des termes sources, qui sont des distributions à support compact.
Regardons, quand même, ce que signifie la formule que
nous avons obtenue lorsque la donnée initiale et le
terme source ne sont pas des distributions mais des
fonctions, par exemple des fonctions continues à support compact.
Donc, je vais supposer que f in est une fonction continue à support compact
sur R N et que S est un terme source, continu à support compact
sur R plus étoile croix R N.
Dans ce cas-là, la solution du problème de Cauchy donnée par le théorème 2 est la
fonction qui est définie par la formule suivante : f, de t, de x, égale
l'intégrale sur R N de grand G N, de t et de x moins
y, f in de y, d y, je vous rappelle que G N, c’est la distribution gaussienne
qui est la solution élémentaire de l'opérateur de la chaleur, plus intégrale
de zéro à t de intégrale sur R N de G N, de t moins tau et de
x moins y, fois S de tau et de y, d y, d tau.
Donc, on reconnaît que la première intégrale,
qui est la contribution de la condition initiale,
correspond au produit de convolution de G N par Dirac en t égal à
zéro, tens f in, tandis que, la deuxième intégrale, l'intégrale
double, à la fois en temps et en espace, est le produit de convolution de
la distribution G N par la distribution définie par S.
Évidemment,
l'intégrale en temps est limitée au segment zéro, t
parce que G N, aussi bien que S, sont à support dans t
positif. Alors, examinons brièvement quelques
propriétés fondamentales de l'équation de la chaleur, ou du moins de ses solutions.
Alors, première propriété,
absolument évidente, c'est que l'unique solution tempérée du problème de Cauchy
pour l'équation de la chaleur, avec une donnée initiale, f in à support
compact, distribution à support compact sur R N, et terme source, distribution
à support compact sur R plus étoile croix R N, vérifie l'implication suivante,
à savoir que, si je suppose que f in est
une distribution positive ou nulle et que S est une
distribution positive ou nulle, eh bien, forcément, la solution, elle-même,
sera une distribution positive ou nulle sur R croix R N.
Et, l'idée de la démonstration consiste, tout
simplement, à utiliser la formule explicite donnant
la solution du problème de Cauchy, formule explicite fournie par le théorème 2, et
à observer que la distribution G N,
la solution élémentaire à support dans le futur
est, elle-même, une distribution positive ou nulle,
et que donc, la formule qui donne la
solution petit f, donne la solution petit f, comme le produit de convolution de la
distribution positive ou nulle, G N, par la distribution Dirac en zéro,
tens f in, plus S point, qui est également positive ou nulle.
Alors, le produit de convolution de deux distributions
positives ou nulles est une distribution positive ou nulle.
Deuxième propriété, Supposons, maintenant, qu'il n'y a pas de terme source.
Donc, je suppose que S est égal à 0, et
je suppose que f in est une distribution à support
compact sur RN.
Eh bien, si je regarde l'unique solution tempérée sur R croix RN du problème de
Cauchy, ou plus exactement, sa restriction à T strictement positif, solution
du problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur, avec donnée initiale f in sans
terme source, eh bien, cette solution, au sens des distributions est une
distribution de la forme Tf, avec f qui appartient
à C infini de R plus étoile croix RN.
Autrement dit, cette solution au sens des distributions, en réalité,
c'est une fonction, et, bien que la condition initiale soit
une distribution à support compact quelconque, eh bien, pour tous
les temps positifs, la solution, elle, est de classe C infini.
L'idée est d'observer
qu'en fait, cette fonction de classe C infini,
on l'obtient de la manière suivante : Pour tout
T strictement positif, eh bien f de t et de x, vu comme fonction de x à
t fixé, c'est le produit de convolution, mais
attention, un produit de convolution en la variable x
de la fonction de la variable x GN de t, et de x, par la condition initiale
f in.
Mais f in est une distribution à support compact.
J'en fais le produit de convolution par la fonction GN de t et de
x, vu comme fonction de x qui est de classe C infini en x.
Donc, ce que j'obtiens, c'est une fonction qui est de classe C infini en x.
Deuxième exemple de problème de Cauchy,
pour une équation à dérivée partielle d'ordre
1 en t, c'est le cas de l'équation de Schrödinger, qui
est très semblable, formellement, du moins, à l'équation de la chaleur.
Alors, on va considérer le problème de Cauchy, i d rond tf
plus un demi de laplacien en x de f égal à S.
Donc, pour t dans R plus étoile, et x dans RN,
sachant que f à t égale 0 est égal à f in.
Et, on rappelle que la seule solution élémentaire tempérée de i d rond t plus un
demi de laplacien en x à support dans
le futur, c'est la distribution gamma N, qui est
l'indicatrice que t est positif, divisée par racine de 2 pi i t puissance N,
exponentielle de moins norme de x au carré sur 2 i t, où je rappelle que la racine
qui intervient au dénominateur, c'est la détermination principale de la
racine, dans le plan complexe privé du demi axe négatif.
Et je rappelle que, en réalité, cette distribution
doit être comprise comme la limite, lorsque epsilon tend vers 0, par
valeur positive, de l'indicatrice que t est positif, divisé par
la racine de 2 pi, epsilon plus i t, à la puissance N, fois exponentielle
de moins norme de x au carré sur 2 fois epsilon plus i fois t.
Théorème trois.
Donc, si je suppose que f in est une distribution à support
compact quelconque sur RN, et que S est une distribution à support compact
quelconque sur R plus étoile croix RN, eh bien, l'unique solution tempérée
du problème de Cauchy ci-dessus, pour l'équation de Schrödinger, c'est le
produit de convolution de gamma N par Dirac en 0 tens f
in, plus S point, où, comme avant, S point est le prolongement
par 0 de S à R croix RN. Alors, la démonstration de ce
théorème est exactement la même que dans le cas de l'équation de la chaleur.
Regardons ce qui se passe dans le cas de données initiales,
et de termes sources qui sont des fonctions, et pas des distributions.
Eh bien, à nouveau, tout se passe comme dans le cas de l'équation de la
chaleur, et la formule avec le produit
de convolution, au sens des distributions, s'interprète de
la manière suivante.
Lorsque f in est une fonction continue à support
compact, et que S est une fonction continue à support
compact sur R plus étoile croix RN, eh bien,
on trouve que la solution du problème de Cauchy pour
l'équation de Schrödinger est donnée par la formule f
de t et de x égale l'intégrale de gamma N
de t et de x moins y contre f in de y dy, plus l'intégrale de 0 à t,
de l'intégrale sur RN de gamma N de t moins tau, et
de x moins y, S de tau et de y dy d tau.
De même que, dans le cas de l'équation de la chaleur,
cette formule faisant intervenir des intégrales permet de se faire une
meilleure idée de ce que signifie réellement cette formule faisant
intervenir le produit de convolution de gamma N par Dirac en 0,
tens à infini, plus S point extension de S par 0 pour t
négatif. Alors, regardons
au moins une propriété fondamentale de l'équation de Schrödinger.
Supposons que la condition initiale n'est
pas une distribution quelconque à support compact.
Mais supposons,
par exemple, que c'est une fonction de carré intégrable sur
RN, et qu'il n'y a pas de terme de source.
Donc, f in appartient à L2 de RN, et S égale zéro.
Alors, si je regarde l'unique solution tempérée du problème de Cauchy pour
l'équation de Schrödinger, avec donnée initiale f in sans terme source, sachant
que f in est de carré sommable sur RN, en plus du fait
que elle définit une distribution à support compact sur RN,
Eh bien, cette unique solution tempérée du problème de Cauchy, pour l'équation de
Schrödinger, c'est de la forme t indice f, avec f qui est une
fonction appartenant à L2 de RN pour toute valeur du temps.
Et d'autre part, plus précisément, ce que l'on a, c'est que pour toute
valeur de la variable de temps petit t, la norme, dans
L2 de f de t et de x, vue comme fonction
de la variable x, est égale à la norme de la
donnée initiale f in, égalité qui vaut, pour tout temps strictement positif.
Alors, d'où vient cette égalité?
L'idée est de regarder l'équation de Schrödinger après transformation
de Fourier partielle en la variable x.
Et si je note xi, la variable duale de x, et f chapeau, la
transformée de Fourier partielle de f en la variable x, alors, on montre très
facilement que la solution tempérée du problème
de Cauchy, pour l'équation de Schrödinger, avec
donnée initiale f in et pas de terme source, est donnée par la formule
f chapeau, égale exponentielle de it norme de xi carré sur
2, fois f in chapeau. Et d'autre part, eh bien, évidemment,
exponentielle de it norme de xi carré sur 2, c'est pour tout xi et
pour tout t réel, c'est un nombre complexe de module 1.
Et donc, on conclut, en appliquant le théorème
de Plancherel, puisqu'on voit sur la formule donnant f chapeau,
en fonction de f in chapeau, que la norme L2 de f chapeau en la
variable xi, pour tout temps, est égale à la norme L2
de f in chapeau en la variable xi. Et ensuite, le
théorème de Plancherel nous dit que la norme
L2 de f de t et de x vue comme fonction de
la variable x, c'est égal à un coefficient 2 pi
puissance N près, à la norme L2 de f chapeau de t
et de xi, vue comme fonction de la variable xi.