À propos de ce cours
4.8
49 notes
13 avis
Le cours expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier. Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Evariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathématiques. Son étude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une équation prise au hasard ne s'expriment en général pas par des formules algébriques faisant intervenir ses coefficients à partir du degré 5, un résultat démontré auparavant par Abel. Plus généralement, l'étude du groupe de Galois du polynôme permet de dire exactement quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie d'une part la théorie des corps, d'autre part la théorie des groupes.Ce cours expliquera cette théorie en n'utilisant que des résultats de base d'algèbre linéaire. Nous étudierons d'un côté la théorie des corps, c'est-à-dire la façon dont les corps s'emboîtent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre algébrique (essentiellement les racines de polynômes). D'un autre côté, nous introduirons les éléments nécessaires à l'étude des groupes de permutations. Cela nous permettra d'expliquer la théorie de Galois, non seulement dans son cadre d'origine, c'est-à-dire quand les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, mais aussi dans un cadre plus général, par exemple lorsqu'on réduit ces coefficients modulo un nombre premier p. Le cours culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces deux situations (« entière » et après réduction modulo p), fournissant ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes. Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très rapidement aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, notamment grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés....
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Programme du cours : ce que vous apprendrez dans ce cours

Week
1
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1 heure pour terminer

Introduction

description du problème et quelques résultats sur les polynômes d'une variable comme échauffement...
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5 vidéos (Total 38 min), 4 lectures
Video5 vidéos
Vidéo 2 : survol historique5 min
Vidéo 3 : polynômes5 min
Vidéo 4 : polynômes, suite12 min
Vidéo 5 : caractéristique7 min
Reading4 lectures
Déroulement du cours10 min
Textes complémentaires10 min
Validation du cours10 min
Documents de la Semaine 110 min
Week
2
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1 heure pour terminer

Extensions de corps

algébricité, corps algébriquement clos, lemme de l'élément primitif...
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6 vidéos (Total 54 min), 1 lecture
Video6 vidéos
Vidéo 2 : extensions de corps6 min
Vidéo 3 : extensions de corps, suite10 min
Vidéo 4 : corps algébriquement clos10 min
Vidéo 5 : élément primitif9 min
Complément sur les espaces vectoriels9 min
Reading1 lecture
Documents de la Semaine 210 min
Week
3
Clock
1 heure pour terminer

Polynôme minimal

éléments conjugués...
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2 vidéos (Total 23 min), 1 lecture
Video2 vidéos
Vidéo 2 : extensions de corps et conjugués12 min
Reading1 lecture
Documents de la Semaine 310 min
Week
4
Clock
1 heure pour terminer

Corps fini

Frobenius, automorphismes, extensions de corps finis...
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3 vidéos (Total 35 min), 1 lecture
Video3 vidéos
Vidéo 2 : élément primitif et corps finis13 min
Vidéo 3 : construction de corps finis13 min
Reading1 lecture
Documents de la Semaine 410 min

Enseignants

Olivier Debarre

Professeur
Département de mathématiques

Yves Laszlo

Professeur
Directeur adjoint Sciences

À propos de École normale supérieure

L’École normale supérieure (ENS) est un établissement d'enseignement supérieur pour les études prédoctorales et doctorales (graduate school) et un haut lieu de la recherche française. L'ENS offre à 300 nouveaux étudiants et 200 doctorants chaque année une formation de haut niveau, largement pluridisciplinaire, des humanités et sciences sociales aux sciences dures. Régulièrement distinguée au niveau international, l'ENS a formé 10 médailles Fields et 13 prix Nobel....

Foire Aux Questions

  • Once you enroll for a Certificate, you’ll have access to all videos, quizzes, and programming assignments (if applicable). Peer review assignments can only be submitted and reviewed once your session has begun. If you choose to explore the course without purchasing, you may not be able to access certain assignments.

  • When you purchase a Certificate you get access to all course materials, including graded assignments. Upon completing the course, your electronic Certificate will be added to your Accomplishments page - from there, you can print your Certificate or add it to your LinkedIn profile. If you only want to read and view the course content, you can audit the course for free.

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