En provenance du cours de Université nationale de Taïwan
頑想學概率:機率一
Université nationale de Taïwan
這是一個機率的入門課程,著重的是教授機率基本概念。課程內容和作業都使用生活化的例子,希望讓同學們快樂學習、快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
À partir de la leçon
WEEK 2
本週的兩個主題:1. 神聖的機率三公理和衍生的性質 2. 機率學中不能不知道的「條件機率」概念 很有趣哦!
Rencontrer les enseignants
Prof. 葉丙成 Ping-Cheng Yeh (Benson)
台大電機系副教授、台大MOOC計畫執行長
[果壳教育无边界字幕组] 听录:zzjm88 时间轴:zzjm88 校对: 随心
好 那我们接下来呢看一下
一些其他的这个概率的一些重要性质
有的是从公理衍生出来
比如说 来看下这一条
这条就说
ф这个事件 就是空集合这个事件
发生的概率是0
空集合是什么意思
我们说有一个事件是空集合是ф 是什么意思
也就是说
你做实验没有去看到结果
这怎么可能
对不对
你丢骰子丢骰子一定会有1点2点3点4点或5点或6点出来嘛
只可能丢一个骰子
它一直没有结果出来 一直在那边转转…
转个不停 怎么可能
不过 就是说
做实验 一定会有结果的
所以空集合 就是空集合 结果就是一片虚无
没有结果
这个事情我们是不可能发生 概率是0
ok? 可是这个事情
不是你用讲的就可以
好 我们就以这个事情当作一个例子
这东西直观上很容易理解 但是
其实它是要通过数学严谨的证明
而且是用什么数学证明呢
就是用刚才那三条公理来证明
我们怎么样用三条公理来证明这件
说这件事情呢 虚无 发生的概率是0呢
好 我们来看一下
好 这个 它是说
我们先看一下这个样本空间S
好 样本空间这个是最大的集合
它就是最大的事件 它把所有可能
这个实验的outcome 这个结果都涵盖在这里面 这个S
S呢跟空集合这个事件
它的交集,S跟ф的交集是什么
是空集
S跟ф的交集呢
是空集合 ok?
那是怎样 而且任你S再怎么样丰富
再怎么大
你碰上了一片虚无
你交集还是虚无
ok 当你是一片虚无 我再怎么样的丰富
我跟你的交集还是虚无啊
对不对 所以根据
上个礼拜我们才讲过这个集合
两个事件的交集如果是空集合的话
我们就说它们两个是什么 它们是互斥的
诶 互斥 这个字眼刚刚还听过
公理3有出现过 对不对
好 那么我们再看一下
因为S呢
又有个很特别的性质
S任何一个集合
它跟虚无的并集 你把虚无纳进来
有纳跟没纳一样嘛 对不对
证任何一个集合
都等于它自己跟虚无的并集
所以 S也不例外
S这个集合呢
它会等于S自己根虚无
这个并集就是你把虚无纳进来 有纳跟没纳一样
对不对 所以我们就发现
那这样子的话 互斥
这个字眼出现呢 公理3有出现过
并集 这个事情也出现过
好 那我们就可以说我们就用公理3呐
公理3这种 S这个集合
既然这个S这个集合它等于S跟ф的并集
那所以这两个集合是同一个集合它发生的概率是一样嘛 对不对
所以S的概率呢
就会等于S∪ф这个集合
它所发生的概率
那S∪ф 根据前面讲
它们S跟ф互斥
那我们就这样说 我们可以用公理3
互斥的话 那两个并集发生的概率就等于
各自概率相加
好就S跟ф的概率相加
ok again 这哪里来的
这来自公理3 ok?
那 如果从这条呢我们就发现说 那
S的概率等于S的概率加上ф的概率
那你实际就可以得到说 那ф的概率等于多少
ф发现就是0了
这种很 感觉起来很直观的事情 其实
都是可以用数学证明的
都可以用那三条证明的
所以 你看到 哇 那三条公理多伟大
好 那我们来看一下
诶 这是另外一个很重要的一个性质
好 就是说任何一个事件A发生的概率
会等于它的补集这个事件发生的概率
好 举例来讲
我举例来讲 老师给你个例子
比如让你 我们以丢骰子这个例子来讲
丢骰子 你可以说A这个事件代表的是
得到奇数点的集这个事件
1、3、5
那奇数点的补集就是什么
就是偶数啦 2、4、6
ok? 所以
这个定理说的是什么
这个定理说的这个性质就是说
你A这个事件就是你丢骰子看到奇数的这个概率
丢骰子看到奇数的概率会等于1减掉
看到偶数的这个点数的概率
ok? 那这是很基本 很基本呐
但是怎么样 可不可以证
还是可以证的
好 怎么证
还是一样 你看一下
A跟A交A的补集
两个的交集是等于空集合
是啊 因为这是补集的定义嘛
两个集合互为补集就是它们
这个定义就是说它们两个交集等于空集
ok 我们看到说
那就表示A跟A的补集怎么样
互斥 这个关键字又出来啦 互斥啊
然后呢我们又看到说 那你看看
那它们两个并集等于什么呢
好 因为A任何一个集合
跟它的这个补集并集就等于整个
所有的全集Universal Set就把它考虑
那在概率里面
上次老师讲过了
在概率里面 我们所考虑 这个集合里面它的全集
就是什么 就是样本空间S啦
所以S
是以身为全集
它又等于A跟A的Complement并集
A跟A的补集就是以丢骰子的例子
你的样本空间是什么
你的样本空间S是什么
就是 如果是丢骰子的话就是1、2、3、4、5、6嘛
对不对 好 那你看
1、2、3、4、5、6有没有等于这两个东西
上面讲这个A跟A的补集两个的并集呢
有吧 对1、2、3、4、5、6就等于
1、2、3跟4、5、6的并集嘛
对不对 所以 样本空间S
等于A跟A的Complement并集
那你看 并集又出现了
互斥也出现了
那这个 就是表示我们在召唤什么了
好 我们在召唤神圣的第三公理啦
对不对 所以你看
就套用第三公理的话
S的集合发生 这个全集发生的概率
样本空间发生概率就等于什么
就等于A跟A的补集它们各自的概率相加
对不对 但是呢 根据这个公理2
我们知道
样本空间发生概率是什么 一定等于1嘛
对不对 所以我们就可以把它写成
就是说1等于A的概率加上A的补集发生的概率
所以 我们就可以得到说
那A发生的概率就等于1减掉A的补集发生的概率
所以 证这个定理呢
我们用了几个公理
这个东西呢我们用了一个公理3
对不对 那另外呢
S的发生的概率等于1
是我们用的公理2
好 这一条呢 我们就用了两条公理
所以从这地方 又要给你看一个例子
说我们怎样利用三条公理而已
我们就可以推演出一些很有用的一些性质
那接下来 我们再看另外一个概率
也是一个很有用一个性质 就是说
任何一个事件A发生的概率
它都可以写成两个概率的 两个私概率的和
一个是A-B的这个概率跟A∩B的概率
这个B可以是任何一个集合
什么意思呢 有时候书讲的不是很清楚
老师画图 做动画给你看
我们用这个图来表示
这个红色 这个最大的集合 我们假设说
在概率里面的时候考虑最大的集合就是S嘛
对不对 那你在S
比如说以丢骰子这个实验为例子的话
你的样本空间S是什么
它就包含所有可能的结果啊
1、2、3、4、5、6
全被它包了 ok?
这S包含这么多东西
在这么多东西里面呢
其实 诶 我们还是有各式各样的一些事件呐
比如说像A A这个事件是
比如像刚才讲A是丢骰子出现
1、2、3点的事件 对不对
所以你看这个丢骰子有出现什么
诶 A这个事件是有出现1点
有出现2点 那也有出现3点
这样的一个事件
ok 就是丢骰子出现3点一下的这个点数的概率
那另外呢 比如说你考虑另外一个事件B
B这事件是什么
比如说B这个事件是出现偶数的事件
那B出现偶数的话那是什么
就是2或4或6嘛 对不对
而且你看 诶 B的话也会有可能是什么
B的话有可能是有
它有包含了2
然后呢还有什么 4还有6
对不对 所以你看它
这个2呢是两个都有的
也就是A跟B的交集
两个是有共有的东西
要交集就是只共有的东西
但是呢有的东西只是它们自己有的
比如1、3只有A有 4、6只有B有
那我们看一下
我们如果仔细看一下 因为我们现在想要知道是那个
A就是黄色那一块东西
它发生的概率 对不对
那你看 黄色这一块东西
黄色这一块东西就是1、2、3呐
它有1、2、3这块东西
它甚至是可以表示成什么
表示成这两块的和的并集起来
有没有 就这种1、2、3呢
可以看成是A-B A-B是什么
有在A里面 但没有在B里面的
又在A没在B里面这种
就前面看的这种 就1、3嘛对不对
1跟3 对不对
还有一块这种 A跟B两个都有的
A跟B在以这一个例子来看的话就是
A跟B都有 就是2嘛 对不对
就是2
A这个事件 不管任何事件A或B
它永远可以写成 A可以写成
A-B这个事件概率
这个事件呢跟B
A∩B这个事件两个的并集
那老师问你们 你们看一下
黄色这一块 这一块黄色的
这两块没有交集嘛
所以这两块怎么样 互斥
那你这个雷达就跑出来
又看到并集 又听到互斥
马上就是什么
老师啊 我们是应该用公理3呐
对呀 所以我们来看一下
这个证明怎么证
就说 A这个事件
可以看成是黄色这一块A-B
跟绿色这一块A∩B两个的并集
而且从图上来看
我们来看它们两个是互斥的
A-B根据定义A-B它们就是
不在B里面的东西
A∩B是A跟B都有的东西
这两个集合怎么可能会有重叠呢
不可能吗 对 所以这一块
黄色的这一块 有缺口的
跟这块绿色是互斥的
所以呢
A既然可以看成它们两个并集
那它们两个又互斥
根据公理3
那A的概率就等于它们两个的概率相加啦
所以这边呢 我们又再一次看到
哇 公理3怎么样
真是好用啊 是不是
那另外一个呢 很重要的一个
这个概率的性质
这个大家以前可能有的同学
在高中的时候可能有用过这个
就是说 这个式子 就是说
任何两个事件A跟B
它们并集的概率 会等于
A的概率加上B的概率
减掉A∩B的概率 ok
那这怎么来的呢
桔色的这一块
我们想知道桔色这一块发生的概率是什么
那你想想看
如果像刚才讲的说
刚才那个A不是可以拆成
两个不相交 不重叠的 互斥的这个
集合的这个并集
就可以用公理3
那我们这个A∪B是不是也可以做同样的事情呢
我们有没有办法把它拆成几个不重叠的
集合呢
跟刚才拆法一样嘛
就是万变不离其宗
把刚才那个A∪B内容
先把它拆成就是A-B这一块黄色的
这块黄色的 加上呢
跟这个绿色的这一块
它们两个的交集A∩B的这个
接下来 稍微还要再插一块什么
插一块这个B-A这一块尾巴
所以 这三块兜起来
就等于那个桔色的A∪B嘛
对不对 所以
那 老师再问你
下面这块黄色的绿色的蓝色的
没有嘛 对不对
哦 没有重叠就是说 就是互斥
听到互斥 然后又看到什么
公理3嘛 对不对
所以这个呢
证明就是 诶 A∪B呢
我们可以把它拆成这三个相加
那这三个相加 前面这个A-B这个概率
通过前面那个 那个性质我们知道
那后面呢
这两块的和刚好等于P(B)
就B发生的概率 就是
绿色这一块
绿色这一块 加上
这个B-A蓝色这一块
这两个都显示就刚好就是原来那块B的长相
所以这就是为什么它们两个加起来呢
发生的概率刚好等于P(B)
所以 这两个呢凑一凑
你最后就得到说
A∪B的概率确实是等于
A的概率加上B的概率
减掉A∩B的概率
那这个定理非常有用啊
我们来找个例子来看一下
如果你在这个大陆 随便碰上一个人
请问这个人爱甜豆花或者爱咸豆花的概率为何
哦 A∪B 那我们就说 诶
那这样会 有或 或是什么
大家知道或就是并集的
在集合上在事件上就是并集嘛 对不对 诶
碰到一个爱甜豆花的人
或碰到一个爱咸豆花的人
这个概率是怎么
爱甜豆花碰上爱甜豆花或爱咸豆花的人
这个概率呢 可以写成这种
碰上爱甜豆花的概率加上碰到爱咸豆花的概率
减掉碰到一个同时爱甜又爱咸的人的这个概率
ok 后面这个…我就不算了
所以 这只是给个例子
知道说 我们可以常常用这个性质
用在生活中 ok 就是
BenSen老师一直在强调的
这个数学你要会用
我们都是学一堆数学
只会解x f(x)或y(x)值为它们证明
然后其他
你都不会 没有办法真正应用在生活当中
没有办法用在实际的问题当中
那没有意义啊
你说学东西 研究有用
不是这样讲
你如果是说在工程的研究
我们碰到的问题也是实际的问题呀
你只会解数学问题 你不会
办法把它应用在实际问题的话
你做研究也做不出来
那学的一切都是假的
所以 这是BenSen老师
在这个课最重要的理念
就是要让同学感受到
数学是有用的
数学是可以在实际生活上面找到应用的
ok