[果壳教育无边界字幕组] 听录:zzjm88 时间轴:zzjm88 校对: 随心

好那我们接下来呢看一下

一些其他的这个概率的一些重要性质

有的是从公理衍生出来

比如说来看下这一条

这条就说

ф这个事件就是空集合这个事件

发生的概率是0

空集合是什么意思

我们说有一个事件是空集合是ф 是什么意思

也就是说

你做实验没有去看到结果

这怎么可能

对不对

你丢骰子丢骰子一定会有1点2点3点4点或5点或6点出来嘛

只可能丢一个骰子

它一直没有结果出来一直在那边转转…

转个不停怎么可能

农历七月不要讲这个好可怕啊

不过就是说

做实验一定会有结果的

所以空集合就是空集合结果就是一片虚无

没有结果

这个事情我们是不可能发生概率是0

ok？可是这个事情

不是你用讲的就可以

好我们就以这个事情当作一个例子

这东西直观上很容易理解但是

其实它是要通过数学严谨的证明

而且是用什么数学证明呢

就是用刚才那三条公理来证明

我们怎么样用三条公理来证明这件

说这件事情呢虚无发生的概率是0呢

好我们来看一下

好这个它是说

我们先看一下这个样本空间S

好样本空间这个是最大的集合

它就是最大的事件它把所有可能

这个实验的outcome 这个结果都涵盖在这里面这个S

S呢跟空集合这个事件

它的交集，S跟ф的交集是什么

是空集

S跟ф的交集呢

是空集合 ok？

那是怎样而且任你S再怎么样丰富

再怎么大

你碰上了一片虚无

你交集还是虚无

ok 当你是一片虚无我再怎么样的丰富

我跟你的交集还是虚无啊

对不对所以根据

上个礼拜我们才讲过这个集合

两个事件的交集如果是空集合的话

我们就说它们两个是什么它们是互斥的

诶互斥这个字眼刚刚还听过

公理3有出现过对不对

好那么我们再看一下

因为S呢

又有个很特别的性质

S任何一个集合

它跟虚无的并集你把虚无纳进来

有纳跟没纳一样嘛对不对

证任何一个集合

都等于它自己跟虚无的并集

所以 S也不例外

S这个集合呢

它会等于S自己根虚无

这个并集就是你把虚无纳进来有纳跟没纳一样

对不对所以我们就发现

那这样子的话互斥

这个字眼出现呢公理3有出现过

并集这个事情也出现过

好那我们就可以说我们就用公理3呐

公理3这种 S这个集合

既然这个S这个集合它等于S跟ф的并集

那所以这两个集合是同一个集合它发生的概率是一样嘛对不对

所以S的概率呢

就会等于S∪ф这个集合

它所发生的概率

那S∪ф 根据前面讲

它们S跟ф互斥

那我们就这样说我们可以用公理3

互斥的话那两个并集发生的概率就等于

各自概率相加

好就S跟ф的概率相加

ok again 这哪里来的

这来自公理3 ok？

那如果从这条呢我们就发现说那

S的概率等于S的概率加上ф的概率

那你实际就可以得到说那ф的概率等于多少

ф发现就是0了

ok 所以各位看看连这样的一个事情

这种很感觉起来很直观的事情其实

都是可以用数学证明的

都可以用那三条证明的

所以你看到哇那三条公理多伟大

真的很伟大

真的很神圣呐

好那我们来看一下

诶这是另外一个很重要的一个性质

好就是说任何一个事件A发生的概率

会等于它的补集这个事件发生的概率

好举例来讲

我举例来讲老师给你个例子

比如让你我们以丢骰子这个例子来讲

丢骰子你可以说A这个事件代表的是

得到奇数点的集这个事件

1、3、5

那它的补集会是什么

那奇数点的补集就是什么

就是偶数啦 2、4、6

ok？所以

这个定理说的是什么

这个定理说的这个性质就是说

你A这个事件就是你丢骰子看到奇数的这个概率

丢骰子看到奇数的概率会等于1减掉

看到偶数的这个点数的概率

ok？那这是很基本很基本呐

但是怎么样可不可以证

还是可以证的

好怎么证

还是一样你看一下

A跟A交A的补集

两个的交集是等于空集合

是啊因为这是补集的定义嘛

两个集合互为补集就是它们

这个定义就是说它们两个交集等于空集

ok 我们看到说

那就表示A跟A的补集怎么样

互斥这个关键字又出来啦互斥啊

然后呢我们又看到说那你看看

那它们两个并集等于什么呢

好因为A任何一个集合

跟它的这个补集并集就等于整个

所有的全集Universal Set就把它考虑

那在概率里面

上次老师讲过了

在概率里面我们所考虑这个集合里面它的全集

就是什么就是样本空间S啦

所以S

是以身为全集

它又等于A跟A的Complement并集

A跟A的补集就是以丢骰子的例子

你的样本空间是什么

你的样本空间S是什么

就是如果是丢骰子的话就是1、2、3、4、5、6嘛

对不对好那你看

1、2、3、4、5、6有没有等于这两个东西

上面讲这个A跟A的补集两个的并集呢

有吧对1、2、3、4、5、6就等于

1、2、3跟4、5、6的并集嘛

对不对所以样本空间S

等于A跟A的Complement并集

那你看并集又出现了

互斥也出现了

那这个就是表示我们在召唤什么了

好我们在召唤神圣的第三公理啦

对不对所以你看

就套用第三公理的话

S的集合发生这个全集发生的概率

样本空间发生概率就等于什么

就等于A跟A的补集它们各自的概率相加

对不对但是呢根据这个公理2

我们知道

样本空间发生概率是什么一定等于1嘛

对不对所以我们就可以把它写成

就是说1等于A的概率加上A的补集发生的概率

所以我们就可以得到说

那A发生的概率就等于1减掉A的补集发生的概率

所以证这个定理呢

我们用了几个公理

这个东西呢我们用了一个公理3

对不对那另外呢

S的发生的概率等于1

是我们用的公理2

好这一条呢我们就用了两条公理

所以从这地方又要给你看一个例子

说我们怎样利用三条公理而已

我们就可以推演出一些很有用的一些性质

那接下来我们再看另外一个概率

也是一个很有用一个性质就是说

任何一个事件A发生的概率

它都可以写成两个概率的两个私概率的和

一个是A-B的这个概率跟A∩B的概率

这个B可以是任何一个集合

什么意思呢有时候书讲的不是很清楚

老师画图做动画给你看

我们用这个图来表示

这个红色这个最大的集合我们假设说

在概率里面的时候考虑最大的集合就是S嘛

对不对那你在S

比如说以丢骰子这个实验为例子的话

你的样本空间S是什么

它就包含所有可能的结果啊

1、2、3、4、5、6

全被它包了 ok?

这S包含这么多东西

在这么多东西里面呢

其实诶我们还是有各式各样的一些事件呐

比如说像A A这个事件是

比如像刚才讲A是丢骰子出现

1、2、3点的事件对不对

所以你看这个丢骰子有出现什么

诶 A这个事件是有出现1点

有出现2点那也有出现3点

这样的一个事件

ok 就是丢骰子出现3点一下的这个点数的概率

那另外呢比如说你考虑另外一个事件B

B这事件是什么

比如说B这个事件是出现偶数的事件

那B出现偶数的话那是什么

就是2或4或6嘛对不对

而且你看诶 B的话也会有可能是什么

B的话有可能是有

它有包含了2

然后呢还有什么 4还有6

对不对所以你看它

这个2呢是两个都有的

也就是A跟B的交集

两个是有共有的东西

要交集就是只共有的东西

但是呢有的东西只是它们自己有的

比如1、3只有A有 4、6只有B有

那我们看一下

我们如果仔细看一下因为我们现在想要知道是那个

A就是黄色那一块东西

它发生的概率对不对

那你看黄色这一块东西

黄色这一块东西就是1、2、3呐

它有1、2、3这块东西

它甚至是可以表示成什么

表示成这两块的和的并集起来

有没有就这种1、2、3呢

可以看成是A-B A-B是什么

有在A里面但没有在B里面的

又在A没在B里面这种

就前面看的这种就1、3嘛对不对

1跟3 对不对

还有一块这种 A跟B两个都有的

A跟B在以这一个例子来看的话就是

A跟B都有就是2嘛对不对

就是2

所以看看

A这个事件不管任何事件A或B

它永远可以写成 A可以写成

A-B这个事件概率

这个事件呢跟B

A∩B这个事件两个的并集

那老师问你们你们看一下

黄色这一块这一块黄色的

跟这一块蓝色的

它们两个然后再增块绿色的

它们到底有没有交集

这两块没有交集嘛

所以这两块怎么样互斥

那你这个雷达就跑出来

又看到并集又听到互斥

马上就是什么

老师啊我们是应该用公理3呐

对呀所以我们来看一下

这个证明怎么证

就说 A这个事件

可以看成是黄色这一块A-B

跟绿色这一块A∩B两个的并集

而且从图上来看

我们来看它们两个是互斥的

A-B根据定义A-B它们就是

不在B里面的东西

A∩B是A跟B都有的东西

这两个集合怎么可能会有重叠呢

不可能吗对所以这一块

黄色的这一块有缺口的

跟这块绿色是互斥的

所以呢

A既然可以看成它们两个并集

那它们两个又互斥

根据公理3

那A的概率就等于它们两个的概率相加啦

所以这边呢我们又再一次看到

哇公理3怎么样

真是好用啊是不是

那另外一个呢很重要的一个

这个概率的性质

这个大家以前可能有的同学

在高中的时候可能有用过这个

就是说这个式子就是说

任何两个事件A跟B

它们并集的概率会等于

A的概率加上B的概率

减掉A∩B的概率 ok

那这怎么来的呢

老师再做一次图给你看

你看看也是一样

有这个样本空间S

还有一个任何事件A一个任何事件B

那你看A∪B是哪一块呢

A∪B就是这一块嘛

桔色的这一块

我们想知道桔色这一块发生的概率是什么

那你想想看

如果像刚才讲的说

刚才那个A不是可以拆成

两个不相交不重叠的互斥的这个

集合的这个并集

就可以用公理3

那我们这个A∪B是不是也可以做同样的事情呢

我们有没有办法把它拆成几个不重叠的

集合呢

我们来想想看有没有办法做到

其实有的你看

跟刚才拆法一样嘛

就是万变不离其宗

把刚才那个A∪B内容

先把它拆成就是A-B这一块黄色的

这块黄色的加上呢

跟这个绿色的这一块

它们两个的交集A∩B的这个

接下来稍微还要再插一块什么

插一块这个B-A这一块尾巴

所以这三块兜起来

就等于那个桔色的A∪B嘛

对不对所以

那老师再问你

下面这块黄色的绿色的蓝色的

它们有没有重叠呢

没有嘛对不对

哦没有重叠就是说就是互斥

听到互斥然后又看到什么

又看到并集

我们又应该要召唤哪一只神兽啊

公理3嘛对不对

所以这个呢

证明就是诶 A∪B呢

我们可以把它拆成这三个相加

那这三个相加前面这个A-B这个概率

通过前面那个那个性质我们知道

它等于P（A）减掉跟A∩B这个概率

那后面呢

这两块的和刚好等于P（B）

就B发生的概率就是

绿色这一块

绿色这一块加上

这个B-A蓝色这一块

这两个都显示就刚好就是原来那块B的长相

所以这就是为什么它们两个加起来呢

发生的概率刚好等于P（B）

所以这两个呢凑一凑

你最后就得到说

A∪B的概率确实是等于

A的概率加上B的概率

减掉A∩B的概率

那这个定理非常有用啊

我们来找个例子来看一下

如果你在这个大陆随便碰上一个人

请问这个人爱甜豆花或者爱咸豆花的概率为何

哦 A∪B 那我们就说诶

那这样会有或或是什么

大家知道或就是并集的

在集合上在事件上就是并集嘛对不对诶

碰到一个爱甜豆花的人

或碰到一个爱咸豆花的人

这个概率是怎么

所以呢根据概率讲

爱甜豆花碰上爱甜豆花或爱咸豆花的人

这个概率呢可以写成这种

碰上爱甜豆花的概率加上碰到爱咸豆花的概率

减掉碰到一个同时爱甜又爱咸的人的这个概率

ok 后面这个…我就不算了

所以这只是给个例子

知道说我们可以常常用这个性质

用在生活中 ok 就是

BenSen老师一直在强调的

这个数学你要会用

我们都是学一堆数学

只会解x f（x）或y（x）值为它们证明

然后其他

你都不会没有办法真正应用在生活当中

没有办法用在实际的问题当中

那学这个数学有什么用呢

学这个数学就只是考试用的

对不对

那没有意义啊

你说学东西研究有用

不是这样讲

你如果是说在工程的研究

我们碰到的问题也是实际的问题呀

你只会解数学问题你不会

办法把它应用在实际问题的话

你做研究也做不出来

那学的一切都是假的

这考完试考完高分呢就

这个东西全部还给老师啦

所以这是BenSen老师

在这个课最重要的理念

就是要让同学感受到

数学是有用的

数学是可以在实际生活上面找到应用的

ok

2-1.b：機率公理性質 (中)

頑想學概率：機率一

Rencontrer les enseignants