À propos de ce cours : Ces quelques leçons de mécanique lagrangienne font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne Le formalisme de Lagrange permet une résolution efficace de problèmes complexes de mécanique. Il permet aussi d'apporter un éclairage plus fondamental sur les lois de conservation (théorème de Noether). A titre d'illustration de la méthode de Lagrange, on traitera le problème très important des oscillateurs harmoniques couplés, exprimé comme un problème de valeurs propres et de vecteurs propres. On termine avec un formalisme permettant d'analyser les résonances paramétriques, notion illustrée par l'expérience montrant la stabilité d'un pendule inversé forcé.

Créé par : École polytechnique fédérale de Lausanne

Enseigné par : Jean-Philippe Ansermet, Professeur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse

Engagement	4 hours/week
Langue	French
Comment réussir	Réussissez tous les devoirs notés pour terminer le cours.
Notes des utilisateurs	4.5 étoiles Note moyenne des utilisateurs 4.5Voir ce que disent les étudiants

Programme de cours

SEMAINE 1

Méthode de Lagrange

La méthode de Lagrange permet de résoudre de manière très efficace des problèmes d'une grande variété en utilisant des coordonnées généralisées. Ici, les équations de Lagrange sont démontrées pour des systèmes de points matériels soumis à des contraintes qui s'expriment sous la forme d'équations pour les coordonnées généralisées. Une généralisation sera vue plus loin.

3 vidéos, 3 lectures, 1 quiz pour s'exercer

Reading: Apprendre par le MOOC
Reading: Contrôle de l'acquisition des connaissances
Vidéo: 25.1 Méthode de Lagrange
Vidéo: 25.2 Méthode de Lagrange, applications
Vidéo: Expériences leçon 25
Practice Quiz: Questions conceptuelles de la leçon 25
Reading: Enoncé des problèmes de la leçon 25

Noté: Problème 25.1 - Cylindre dans cylindre

Noté: Problème 25.2 - Barre tractée

SEMAINE 2

Application du formalisme de Lagrange

La méthode de Lagrange permet d'obtenir les lois de conservations de la quantité de mouvement et du moment cinétique comme la conséquence de symétries fondamentales. On va voir aussi qu'on peut résumer toute la mécanique sous la forme d'un principe de minimisation d'une fonction qu'on appellera l'action. Il s'agit d'un principe dit "variationnel". Comme il s'agit de quelque chose de tout à fait nouveau, on va développer un sens physique de tels principes variationnels en considérant des expériences simples et quelques exercices.

3 vidéos, 1 lecture, 1 quiz pour s'exercer

Vidéo: 26.1 Symétries et conservations
Vidéo: 26.2 Principe de moindre action
Vidéo: 26.3 Expérience : minimisation
Practice Quiz: Questions conceptuelles de la leçon 26
Reading: Enoncé des problèmes de la leçon 26

Noté: Problème 26.1 - Pendule cycloïdal

Noté: Problème 26.2 - Multiplicateurs de Lagrange et forces de contraintes

Noté: Problème 26.3 - Forme de la chaînette suspendue

SEMAINE 3

Systèmes vibratoires discrets et pendules couplés

Les systèmes vibratoires couplés se retrouvent dans toutes sortes de contextes en physique et jouent un rôle très important en ingénierie. L'étude d'oscillateurs couplés permet de mettre en jeu les concepts de valeurs propres et de vecteurs propres qu'on devait avoir vu dans un cours d'algèbre linéaire.

3 vidéos, 1 lecture, 1 quiz pour s'exercer

Vidéo: 27.1 Systèmes vibratoires discrets, linéaires
Vidéo: 27.2 Pendules couplés
Vidéo: 27.3 Expériences : oscillateurs harmoniques couplés
Practice Quiz: Questions conceptuelles de la leçon 27
Reading: Enoncé des problèmes de la leçon 27

Noté: Problème 27.1 - Oscillations d'une charge suspendue

Noté: Problème 27.2 - Molécule diatomique adsorbée

SEMAINE 4

Résonance paramétrique

Quoi de plus simple qu'un enfant qui fait osciller la balançoire sur laquelle il se tient en pliant les genoux au bon rythme ? Et pourtant, il s'agit là d'un problème de mécanique des systèmes non-linéaires dont l'analyse nécessite de nouvelles approches. Ces problèmes exprimés par les équations dites de "Hill" ou de "Mathieu" se retrouvent dans toutes sortes de contextes, notamment en physique de la matière condensée.

3 vidéos, 1 lecture, 1 quiz pour s'exercer

Vidéo: 28.1 Résonance paramétrique
Vidéo: 28.2 Pendule paramétrique
Vidéo: 28.3 Expériences : résonance paramétrique
Practice Quiz: Questions conceptuelles de la leçon 28
Reading: Enoncé des problèmes de la leçon 28

Noté: Problème 28.1 - Pendule paramétrique vibrant

Noté: Problème 28.2 - Résonance paramétrique

SEMAINE 5

Principe de relativité (optionnel)

Partant des concepts vu à la leçon 15 sur les changements de référentiel, on rappelle le principe de relativité de Galilée. Avec une condition supplémentaire sur la vitesse de la lumière, on voit qu'on a un problème et qu'il faut changer la façon de relier les coordonnées liées à deux référentiels d'inertie en translation uniforme l'un par rapport à l'autre.

3 vidéos, 1 lecture, 4 quiz pour s'exercer

Vidéo: 22.1 Principe de relativité
Vidéo: 22.2 Coordonnée temps associée au référentiel
Vidéo: Expériences leçon 22
Practice Quiz: Questions conceptuelles de la leçon 22
Reading: Enoncé des problèmes de la leçon 22
Practice Quiz: Problème 22.1 - Pendule sur cube en rotation libre
Practice Quiz: Problème 22.2 - Roto-vibrations
Practice Quiz: Problème 22.3 - Pendule en équerre

SEMAINE 6

Cinématique relativiste (optionnel)

Dans cette introduction à la cinématique relativiste, on applique des principes de symétrie très généraux pour arriver aux célèbres transformations de Lorentz. Avec elles, on explique ce qu'on entend par contraction des longueurs et dilatation du temps.

4 vidéos, 1 lecture, 5 quiz pour s'exercer

Vidéo: 23.1 Cinématique relativiste
Vidéo: 23.2 Transformation de Lorentz : applications
Vidéo: Expériences leçon 23
Vidéo: Le rayonnement synchrotron par Giorgio Margaritondo
Practice Quiz: Questions conceptuelles de la leçon 23
Reading: Enoncé des problèmes de la leçon 23
Practice Quiz: Problème 23.1 - Transformations de Lorentz
Practice Quiz: Problème 23.2 - Contraction relativiste d'une barre
Practice Quiz: Problème 23.3 - Elément d'hypervolume
Practice Quiz: Problème 23.4 - Faisceaux de particules relativistes

SEMAINE 7

Dynamique relativiste (optionnel)

On prend le point de vue d'induire par des arguments relativistes la relation qui doit exister entre la quantité de mouvement et la vitesse d'un point matériel. L'introduction d'un quadri-vecteur quantité de mouvement aboutit à la plus célèbre des équations de la physique : E = mc^2. On évoquera aussi la notion de photon.

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