[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА] На предыдущем

занятии мы определили некоторые базовые понятия,

а применительно к линейным стационарным системам определили две

основные модели их описания: уравнение

типа вход-выход и уравнение в пространстве состояний.

Курс в основном направлен на синтез регуляторов типа обратной связи, но,

прежде чем перейти к этой содержательной части,

нам придется еще расширить наш инструментарий,

рассмотрев понятие управляемости,

наблюдаемости и детектируемости.

Значит, мы установим несколько, а именно 8,

критериев, необходимых и достаточных критериев управляемости

и столько же критериев наблюдаемости.

Более того, эти два понятия находятся между собой в отношении двойственности.

Если сама система управляема,

то система с сопряженными коэффициентами, наблюдаема и наоборот.

Это так называемая теорема двойственности.

Мы установим также необходимые и достаточные условия

стабилизируемости системы по состоянию.

Оказывается, если данной системы эта задача вообще разрешима,

то она разрешима линейным пропорциональным регулятором.

А необходимым и достаточным условием является управляемость

любой антиустойчивой подсистемы нашей системы.

Кроме самого принципиального факта,

мы рассмотрим конкретный алгоритм,

который по коэффициентам системы позволяет построить уравнение

стабилизирующего регулятора.

Аналогичная программа будет выполнена для задачи

стабилизации линейной стационарной системы по выходу.

Оказывается, что в этом случае пропорциональных регуляторов недостаточно,

но если существует какой-то регулятор, стабилизирующий систему,

то его можно найти в классе линейных стационарных систем.

И опять-таки мы представим алгоритм нахождения, вычисления

параметров этого самого регулятора по параметрам объекта управления.

Что касается эффективного критерия проверки стабилизируемости по выходу,

то он формулируется достаточно просто.

Объект управления должен быть не вырожден в неустойчивые области.

Для объектов со скалярным входом и выходом это означает просто,

что числитель и знаменатель передаточной функции не

должны в неустойчивой области иметь совпадающих корней.

Итак, приступим к делу.

Основная цель этого занятия — в конечном итоге

построить алгоритмы управления по состоянию и по выходу.

Но начать для этого придется с введения понятия управляемости.

Определение для непрерывных систем следующее:

система пространства состояний

управляема, если

для любых двух точек из пространства состояний,

для любого отрезка времени найдется такой вход,

который за это время переведет систему из первой точки во вторую.

Классикой теории управления является

теорема о критериях управляемости.

Их много, и все они нам потребуются.

Итак, управляемости эквиваленты следующие условия.

Первое: матрица управляемости,

составленная из матриц B, AB, ...,

A в n − 1 степени B, имеет максимальный ранг.

Второе: равенство z × e от матрицы

A × B для каждого λ из множества

с предельной точкой в комплексной плоскости возможно только при нулевом z.

Аналогичное условие, но для резольвенты: равенство

z × резольвенту матрицы A × B =

0 для каждого λ из множества с предельной

точкой [ШУМ] возможно только при нулевом z.

Далее: эрмитова матрица, выраженная через интеграл от матричной экспоненты,

от самой матрицы и от сопряженной к ней,

положительно определена для любых моментов t1 и t2.

Равенства A сопряженное

× z = λ0z и одновременно B сопряженное

× z = 0 возможны только при нулевом z.

Для любого комплексного λ ранг матрицы

A − λ и B максимален, то есть равен n.

Очень важный 7-й критерий: не существует такой неособой матрицы S,

чтобы после перехода по

общему правилу к подобной матрице эта

матрица имела

блочно-треугольный вид, а у матрицы B с волной,

полученной тем же способом,

напротив второго нетривиального блока, не было ненулевых элементов.

И, наконец, последний из критериев, который мы рассмотрим.

Возьмем резольвенту матрицы A, умножим ее на B.

Это дробно-рациональная матрица,

у которой в знаменателе стоит характеристический определитель A.

Если мы домножим на него,

то в результате мы, разумеется,

получим многочлен с матричными коэффициентами.

Если коэффициенты этого матричного многочлена поставить бок о бок,

то мы построим некую прямоугольную матрицу Q,

и ее полный ранг, оказывается,

эквивалентен полной управляемости пары A и B/ Доказательство этой теоремы,

конечно, совершенно неоригинально, но полезно для того,

чтобы потренировать свою память и освежить сведения

из линейной алгебры и теории функций комплексного переменного и прочего.

Доказывать можно по следующей схеме: чтобы не доказывать

эквивалентность каждого условия каждому, доказываются два цикла,

изображенных на слайде,

и отдельно эквивалентность шестого условия пятому и восьмого первому.

Надчеркивание в данном случае означает отрицание утверждения.

Докажем, что из нарушения

второго условия следует неуправляемость.

Отрицание второго условия означает, что существует некоторое

ненулевое z и последовательность λk,

имеющая предел λ, такое,

что функция φ(λ)

z × e × B = 0 для каждого λ из этой последовательности.

Подчеркнутая функция аналитична, поэтому по теории фукнции комплексного

переменного мы получаем, что она = 0 тождественно.

Предположим, что система управляема.

Тогда найдется вход,

который переводит эту систему из 0 в нулевой момент,

в точку, в определенную точку

z к моменту времени 1.

Квадрат модуля z при этом выражается

как z на

интеграл от экспоненты на B * e в степени (t − s),

это просто следует просто из формулы Коши.

Это в точности равно свертке φ(s)e,

а φ у нас тождественно равно 0.

И получается, что |z| = 0,

что противоречит сделанным предположениям относительно того, что z нарушено.

Таким образом, управляемости быть не может.

Покажем, что из нарушения третьего условия следует нарушение второго.

Это просто, надо воспользоваться тем,

что z на резольвенту матрицы A и на B — это просто

результат преобразования Лапласа от нашей функции φ.

А дальнейшие рассуждения повторяют доказательства предыдущего пункта.

Докажем, что из нарушения четвертого условия следует нарушение первого.

Четвертое условие — это положительная определенность некой эрмитовой матрицы.

По ее построению она неотрицательно определена всегда.

Значит, ее неопределенность положительная означает,

что для некоторого z квадратичная форма z* * K * z = 0.

Это означает, что z * e в степени tA * B = 0 тождественно.

Если взять в 0 производные по времени T,

то мы получаем, что для всех

степеней A z * A в степени k * B = 0.

Это противоречит условию о полном ранге матрицы,

составленной из подматриц вида A в степени k * B, то есть первому условию.

Далее, вместо того чтобы доказывать,

что из неуправляемости следует невыполнение четвертого условия,

мы докажем, что из четвертого условия следует управляемость.

Для этого достаточно перевести в силу линейности

из нулевой точки вектор состояния системы

в произвольную точку x1 за время T.

Это достигается с помощью

указанного входа e(T) и доказывается просто по формуле Коши.

Две эквивалентности,

V и VI, и то, что

из невыполнения VII следует неуправляемость, очевидно.

Остановимся немного на последнем.

Отрицание VII означает, что в измененном

базисе у системы есть подсистема,

на которую управление не оказывает никакого воздействия.

Понятно, что управляемой такая система быть не может.

Наконец, докажем то, что условие VIII эквивалентно I.

Это очевидно, потому что коэффициенты qj матричного многочлена,

который стоит в числителе передаточной фукнции от q к x,

они выражаются через матрицы

вида A в степени j * B.

[БЕЗ_ЗВУКА] То

есть матрица управляемости R и матрица Q

связаны просто элементарными операциями над их столбцами.

А это не меняет ни одного минора.

Раз R имеет максимальный ранг, то значит,

это относится и к Q, и наоборот.

Докажем, что из невыполнения I условия следует невыполнение VII.

Невыполнение первого означает,

что существует нетривиальное пространство к

R'' к линейной

оболочке всех столбцов матрицы R.

Таким образом, всё n-мерное пространство

можно представить в виде прямой суммы R' + R''.

Рассмотрим матрицу S,

построенную из векторов,

образующих базис в R' и в R''.

По тождеству Кэли пространство R',

натянутое на столбцы матриц вида A в

степени kB, инвариантно относительно A.

Поэтому A * S1 = A1 * A11,

где A11 — некоторая матрица размерности n1 x n1.

Все столбцы

B лежат в R'.

Поэтому B = S1 * B1,

где B1 опять-таки лежит в пространстве

размерности n1 x m.

Все столбцы матрицы AS2 разложимы в базисе первого подпространства.

То есть выполнено подчеркнутое равенство.

Поскольку столбцы матрицы S образуют базис, она не особая.

И A с волной, построенная стандартным

образом, имеет вид блочно-треугольный,

а матрица B с волной на месте второго подпространства имеет нули.

Теорема доказана.

Для дискретных систем необходимо ввести изменения.

Понятно, что за один шаг из произвольной точки в произвольную не перескачешь.

Необходимо модифицировать определение так,

чтобы перевод из одной точки в другую был возможен

за время K, не меньшее, чем размерность системы.

Доказательство элементарно, потому что возможность перевести из одной

точки в другую эквивалентно разрешимости уравнения RU = z для любой правой части,

что равнозначно первому

условию.

Видео 2.1. «Управляемость»

Введение в теорию кибернетических систем

Rencontrer les enseignants