[БЕЗ_ЗВУКА] Итак,

не буду вас слишком долго интриговать: сейчас выпишу три основные утверждения,

которые, как я считаю, входят в минимум грамотности,

в ликбез, в любой ликбез по теории множеств.

Значит, утверждение № 1, оно звучит так:

натуральные числа нельзя поставить

во взаимно однозначные соответствия со всеми точками отрезка [0, 1].

То есть вот ответ на вопрос.

Нет, не все бесконечные множества друг другу, как говорят математики, равномощны.

Равномощны — значит, существуют взаимно однозначные соответствия.

Такой термин.

Давайте я даже напишу.

То есть отрезок [0, 1], как говорят,

не равномощен натуральным числам.

Ну, и вот в этом случае мы хотим исследовать, верно ли, что,

может быть, натуральные числа равномощны какому-то подмножеству отрезка [0, 1],

или наоборот может быть верно?

В силу утверждения 3, которое будет здесь,

одновременной верности того и другого быть не может.

Ну, на самом деле, если вы подумаете чуть-чуть, то ясно,

что должно быть какое-то позитивное утверждение в этой науке,

иначе вообще непонятно, с чем жить: если нет взаимно однозначного соответствия,

но есть отображение N внутрь отрезка [0, 1] и отображение [0, 1] внутрь N,

то это какое-то сразу большое-большое противоречие в голове и непонятно,

что вообще с такой наукой было бы делать.

К счастью, утверждение 3 исключает такую возможность.

А утверждение 2 на самом деле уточняет вот это утверждение,

если аккуратно исследовать ситуацию.

Ну, давайте, утверждение 2 говорит следующее.

Теорема Кантора.

Вот это одно из величайших достижений абстрактной такой

математики, матлогики, в общем, может быть,

входит в пять самых удивительных фактов жизни математической.

Теорема Кантора: для любого вообще множества,

не важно, конечного или бесконечного,

для любого множества А

верно, что оно не

равномощно множеству своих подмножеств,

которое вот так обозначается по некоторым причинам, чуть позже мы их выясним.

То есть множеству всех

своих подмножеств.

[ЗВУК] Вот.

Теорема Кантора.

Доказательство — это вынос мозга, и я просто не могу отказать себе

в удовольствии этот вынос произвести, чуть позже.

И, наконец, третье утверждение.

Третье утверждение состоит в следующем: если

множества X

и Y таковы,

что — пункт один — X вкладывается в Y,

то есть может быть построено взаимно однозначное

соответствие X с частью Y; пункт два — Y

вкладывается в X, то есть можно, наоборот,

взять Y и внутрь X как-то засунуть взаимно однозначным образом.

То есть как вот у нас было с натуральными и целыми, да?

Так вот, утверждение 3 — теорема Кантора — Бернштейна.

Кантор вообще поработал тут сильно.

Он говорил, что он сам не понимает своего доказательства до конца.

То есть он видит написанное, но он не может его охватить умом.

Он его выдумал...

Ну, видимо, ему как-то свыше упало на него.

Теорема Кантора — Бернштейна говорит о том, что в этом случае X и Y равномощны.

То есть можно установить прямо руками взаимно однозначное соответствие на

основе вот этих данных.

То есть вам дается как бы способ вложить X внутрь Y и дается

способ вложить Y внутрь X, наоборот.

А вы говорите: ага, я тогда вам возьму и руками построю взаимно однозначное

соответствие, и тем самым они одинаковы, они равномощны.

Вот. И из этого следует,

что если мы поверили вот в это утверждение, его очень просто,

на самом деле, доказать, но вот если мы на секундочку в него просто поверили,

то тогда ясно, что в обе стороны не может быть.

Но в одну сторону тривиально вкладывается.

Как вкладываются натуральные числа в отрезок [0, 1]?

Просто каждому числу n ставится в соответствие 1 / n, и все.

Разным соответствуют разные.

Скопление как бы к нулю идет.

1, 1/2, 1/3...

И это непосредственно видное вложение натуральных чисел в отрезок [0,

1], тем самым обратно невозможно, по теореме Кантора — Бернштейна.

Если бы было возможно, то N было бы равномощно отрезку [0, 1].

Ну вот, вот на следующей неделе мы с вами все эти утверждения докажем,

все три, а сейчас я хочу привести еще несколько поразительных фактов их жизни

множеств взаимно однозначных соответствий и равномощности.

Итак, факт № 1: отрезок — это то же самое, что прямая.

Ну, в самом деле.

Прежде всего, давайте я в качестве

упражнения предложу такую очень простую вещь, что с точки

зрения взаимно однозначных соответствий отрезок и интервал — это одно и то же.

То есть что вот эти две точки на краях,

можно от них как-нибудь так аккуратно избавиться и получить, что есть взаимно

однозначное соответствие между отрезком и его интервалом, вот, внутренним.

А если интервал у нас — то же самое,

что отрезок, то тогда изогнем его вот так вот...

Теперь вот сейчас я проведу дальнейшие рассуждения,

уже не просто используя взаимно однозначные соответствия,

а используя непрерывные в точном смысле,

в котором мы впоследствии этот точный смысл определим...

То есть на самом деле будем использовать соответствия не абы какие,

а сохраняющие близость точек.

А именно: возьмем, подтянем наверх края — получится полуокружность.

Ну, согласны, что это возможно сделать взаимно однозначным образом,

то есть просто вот так изогнуть?

А дальше я беру вот эту вот такую полуокружность,

беру центр ее и начинаю проецировать вот таким образом на прямую,

ну, например, проходящую вот здесь, по касательной просто.

Вот и все.

Смотрите, разные точки, непосредственно наблюдаемые, переходят в разные,

просто чем ближе мы к вот этим краям, тем сильнее они разносятся по этой прямой.

Но при этом каждая точка прямой получает какую-то точку на полуокружности,

потому что если я соединю вот так вот отрезком, ясно, что пересечет где-то.

Ну, и наоборот, каждая точка полуокружности, она обязательно получит

какую-то точку прямой, потому что мы же убрали вот эти вот края, мы их вырезали.

Если бы мы оставили края, была бы параллельная прямая, а все остальные,

непараллельные, они, значит, будут иметь точку пересечения.

Взаимно однозначное соответствие.

Никаких вопросов.

Ну, и, наверное...

Значит, да, факт 2, тоже упражнение:

отрезок и окружность — это одно и то же.

Тоже можно установить взаимно однозначное соответствие, но это

совсем-совсем просто: вы избавляетесь от одной точки и закольцовываете.

И вот почему этот факт 2 будет в дальнейшем нами...

мы его вспомним, потому что мы докажем, что непрерывного в обе стороны

взаимно однозначного соответствия существовать не будет.

То есть, с точки зрения чуть-чуть более тонкой классификации,

чем просто взаимно однозначные соответствия, это разные объекты.

С точки зрения непрерывности, это разные объекты,

а вот в теоретико-множественном смысле это одно и то же.

Ну, и факт 3.

Я его оглашу.

Есть такие числа, которые называются алгебраическими.

Это как бы все, что вы только можете себе представить: корень из 2,

корень кубический из 3...

Всевозможные корни всевозможных уравнений, я бы так сказал.

То есть, если вы написали какое-то уравнение вида «многочлен равен нулю».

И если вот эти вот все коэффициенты у вашего многочлена целые или рациональные,

что то же самое.

Здесь вполне можно избавиться от общего знаменателя, умножив на него.

То есть, если у вас есть просто какой-нибудь многочлен,

вы его приравниваете нулю.

И вот все вообще числа, которые являются корнями каких бы то ни было

многочленов с целыми коэффициентами, носят название алгебраических чисел.

И вот такое обозначение.

Так вот, факт № 3, что их столько же, сколько натуральных.

Казалось бы, все, что только можно описать, взяли, а все равно их столько же,

сколько натуральных.

Можно привести взаимно однозначные соответствия довольно простым образом:

надо только представить себе решетку в n-мерном пространстве,

в n + 1-мерном пространстве.

Во все стороны пустил,

и каждый многочлен получит одну конкретную точечку из вот этих вот координат.

А потом вот, значит, змейкой можно такую решетку тоже обойти и на

каждом многочлене еще остановиться на...

Если у него несколько корней, у него не больше n-корней по некоторой очень

важной теореме, остановиться и пересчитать все из них, потом двинуться дальше.

И таким образом натуральные числа будут использованы для пересчета всех вообще

корней всех вообще многочленов с целыми коэффициентами.

То есть взаимно однозначная классификация, она очень, очень грубая...

Всех алгебраических чисел и всех натуральных — одно и то же,

но не всех вещественных, потому что вот вам раз, а вот вам — два.

Отрезка уже больше, чем натуральных чисел, ну,

и так, как отрезок и вещественные числа — одно и то же, то, соответственно,

вещественных чисел больше, чем натуральных.

Ну, вот, на следующей неделе я эти три утверждения точно докажу,

а потом мы перейдем к исследованию уже более такого обозримого объекта,

а именно: взаимно однозначные преобразования конечного множества.

И мы будем изучать их как группу.

И тем самым постепенно будем возвращаться к геометрии.

Здесь все-таки геометрией не очень пахнет, хотя,

так как это часть Эрлангенской программы Клейна, это тоже геометрия.

Утверждения о равномощных множествах

Геометрия и группы

Rencontrer les enseignants